Questão 21) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
f(x)=\frac{x-[x]}{2 x}
f(x)=\frac{x-[x]}{2 x}
Passo 1
O enunciado pede: analisar a continuidade da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A notação
denota a função piso (maior inteiro menor ou igual a ). - É necessário dizer em que pontos, do domínio da função,
é contínua ou descontínua. - Repare que a expressão tem uma divisão por
, então é preciso achar primeiro o domínio (valores de onde a função está definida).
Passo 2
Determinar o domínio.
- A função piso
está definida para todo . - O denominador
exige , ou seja .
Portanto o domínio é
Passo 3
Reescrever a função usando a parte fracionária.
- Definimos a parte fracionária por
. Essa função satisfaz para todo . - Assim podemos escrever
Isso já ajuda:
é uma função que é contínua em todos os pontos que não são inteiros, e tem saltos nos inteiros.
Passo 4
Continuidade em pontos não inteiros.
- Tome um inteiro
. Em cada intervalo aberto a função piso é constante: para . - Para
temos
que é quociente de funções polinomiais (portanto contínuas) e o denominador
não se anula em
(excepto no intervalo que contém
, mas
). Conclusão:
é contínua em todo
que não é inteiro, isto é, em
.
Passo 5
Análise nos pontos inteiros
, com
.
- Valor da função no inteiro
(lembrando que pertence ao domínio):
- Limite pela direita: para
temos , então
- Limite pela esquerda: para
temos , então
- Como
(para ), os limites laterais são diferentes: e . Logo há descontinuidade do tipo salto em cada inteiro .
Passo 6
Comportamento em
.
- O ponto
não pertence ao domínio, então não se discute continuidade nele. - Para informação adicional: para
tem-se e então , logo
- Para
tem-se e , então . Assim o limite pela esquerda não é finito.
Passo 7
Resumo final e classificação das descontinuidades (tomando um tom de amigo: conseguiu!).
- Em cada intervalo aberto entre inteiros
é a razão de funções contínuas sem anular o denominador, então é contínua nesses pontos. - Em cada inteiro
há descontinuidade de salto (os dois limites laterais são distintos). - Em
a função não está definida; o limite direito é e o limite esquerdo diverge para .
Resposta
Domínio:
.
é contínua em todos os pontos não inteiros, isto é em
.
é descontínua em cada inteiro
(descontinuidade de salto).
não pertence ao domínio (limite direito
, limite esquerdo diverge para
).