Questão 21) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
f(x)=\frac{x-[x]}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: analisar a continuidade da função
f(x)=\frac{x-[x]}{2x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A notação [x] denota a função piso (maior inteiro menor ou igual a x).
  • É necessário dizer em que pontos, do domínio da função, f é contínua ou descontínua.
  • Repare que a expressão tem uma divisão por 2x, então é preciso achar primeiro o domínio (valores de x onde a função está definida).

Passo 2

Determinar o domínio.
  • A função piso [x] está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador 2x exige 2x\neq0, ou seja x\neq0.
    Portanto o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Reescrever a função usando a parte fracionária.
  • Definimos a parte fracionária por \{x\}=x-[x]. Essa função satisfaz 0\le \{x\}<1 para todo x.
  • Assim podemos escrever
f(x)=\frac{\{x\}}{2x},\qquad x\in\mathcal{D}.
Isso já ajuda: \{x\} é uma função que é contínua em todos os pontos que não são inteiros, e tem saltos nos inteiros.

Passo 4

Continuidade em pontos não inteiros.
  • Tome um inteiro n\in\mathbb{Z}. Em cada intervalo aberto (n,n+1) a função piso é constante: [x]=n para x\in(n,n+1).
  • Para x\in(n,n+1) temos
f(x)=\frac{x-n}{2x},
que é quociente de funções polinomiais (portanto contínuas) e o denominador 2x não se anula em (n,n+1) (excepto no intervalo que contém 0, mas 0\notin\mathcal{D}). Conclusão: f é contínua em todo x que não é inteiro, isto é, em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}.

Passo 5

Análise nos pontos inteiros k\in\mathbb{Z}, com k\neq0.
  • Valor da função no inteiro k (lembrando que k\neq0 pertence ao domínio):
f(k)=\frac{k-[k]}{2k}=\frac{k-k}{2k}=0.
  • Limite pela direita: para x\to k^+ temos [x]=k, então
\lim_{x\to k^+} f(x)=\lim_{x\to k^+}\frac{x-k}{2x}=\frac{0}{2k}=0.
  • Limite pela esquerda: para x\to k^- temos [x]=k-1, então
\lim_{x\to k^-} f(x)=\lim_{x\to k^-}\frac{x-(k-1)}{2x}=\frac{1}{2k}.
  • Como \frac{1}{2k}\neq0 (para k\neq0), os limites laterais são diferentes: \lim_{x\to k^-}f(x)=\dfrac{1}{2k} e \lim_{x\to k^+}f(x)=0=f(k). Logo há descontinuidade do tipo salto em cada inteiro k\neq0.

Passo 6

Comportamento em x=0.
  • O ponto x=0 não pertence ao domínio, então não se discute continuidade nele.
  • Para informação adicional: para x\in(0,1) tem-se [x]=0 e então f(x)=\dfrac{x}{2x}=\dfrac12, logo
\lim_{x\to0^+} f(x)=\tfrac12.
  • Para x\to0^- tem-se [x]=-1 e \{x\}\to1, então \dfrac{\{x\}}{2x}\to+\!1/(2\cdot 0^-)= -\infty. Assim o limite pela esquerda não é finito.

Passo 7

Resumo final e classificação das descontinuidades (tomando um tom de amigo: conseguiu!).
  • Em cada intervalo aberto entre inteiros f é a razão de funções contínuas sem anular o denominador, então é contínua nesses pontos.
  • Em cada inteiro k\neq0 há descontinuidade de salto (os dois limites laterais são distintos).
  • Em x=0 a função não está definida; o limite direito é \tfrac12 e o limite esquerdo diverge para -\infty.

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
f é contínua em todos os pontos não inteiros, isto é em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}.
f é descontínua em cada inteiro k\neq0 (descontinuidade de salto).
x=0 não pertence ao domínio (limite direito \tfrac12, limite esquerdo diverge para -\infty).

Exercícios relacionados