Encontre os pontos pertencentes à superfície x^2y^2z=1, que se encontram mais próximos da origem; qual é essa distância mínima?

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície x^2y^2z=1 mais próximos da origem e a distância mínima até ela. É um problema de otimização com restrição envolvendo derivadas e simetria.

Passo 2

Da restrição temos z=1/(x^2y^2). Então a distância ao quadrado até a origem vira a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2+y^2+1x^4y^4

Passo 3

Pela simetria em x e y, o mínimo ocorre quando x^2=y^2=t>0. Substituindo na função, definimos
f(t)=2t+1t^4

Passo 4

Para achar o mínimo de f(t) derivamos em relação a t e igualamos a zero:
f'(t)=2-4t^5=0 implies t^5=2implies t=2^1/5

Passo 5

Logo x=pm2^1/10 e y=pm2^1/10. O z correspondente é z=1/t^2=2^-2/5. A distância mínima é
Dmin=raizf(2^1/5)=raiz2,2^1/5+2^-4/5=raiz5,2^-2/5

Resposta

Os pontos são (x,y,z)=(pm2^1/10,pm2^1/10,2^-2/5) nas quatro combinações de sinal em x e y, e a distância mínima é Dmin=raiz5,2^-2/5.

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