Encontre os pontos em que os planos (são 2) que passam por (0,5,4) e (5,0,4) tangenciam o gráfico de f(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de tangência no gráfico de f(x,y)=x,y de planos que passam por (0,5,4) e (5,0,4). O conteúdo é cálculo de plano tangente a superfície z=f(x,y) e vamos precisar do gradiente de f e da fórmula do plano tangente.

Passo 2

Em um ponto genérico (x0,y0,z0) com z0=f(x0,y0)=x0y0, as derivadas parciais são
fx(x0,y0)=y0, fy(x0,y0)=x0
Logo o plano tangente é
z = x0y0 + y0,(x - x0) + x0,(y - y0) Longrightarrow z = y0,x + x0,y - x0y0

Passo 3

Para que esse plano passe por (0,5,4) e (5,0,4), substituímos:
  • em (0,5,4):
4 = y0 cdot 0 + x0 cdot 5 - x0 y0 Longrightarrow 5 x0 - x0 y0 = 4,
  • em (5,0,4):
4 = y0 cdot 5 + x0 cdot 0 - x0 y0 Longrightarrow 5 y0 - x0 y0 = 4
Isso gera o sistema
x0 (5 - y0) = 4, y0 (5 - x0) = 4

Passo 4

Da primeira equação y0=5-tfrac4x0 (supondo x0neq0). Substituindo na segunda:
l(5-tfrac4x0r),(5 - x0)=4 ;Longrightarrow; 5x0^2 -25x0 +20=0 ;Longrightarrow; x0^2 -5x0 +4=0 ;Longrightarrow; x0in1,4
Para x0=1 vem y0=5-4=1; para x0=4 vem y0=5-1=4.

Passo 5

Os correspondentes z0=x0y0 são z0=1cdot1=1 e z0=4cdot4=16. Logo os pontos de tangência são
(1,,1,,1) e (4,,4,,16)

Resposta

Os pontos de tangência são (1,1,1) e (4,4,16).

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