Seja f(x, y) uma função diferenciável e seja gamma:[a, b] R uma curva diferenciável em ] a, b[ e contínua em [a, b]. Suponha que a derivada direcional de f na direção v apontada por gamma (isto é, v=gamma^prime(c)|gamma^prime(c)|) no ponto gamma(c) é sempre nula,ou seja partial fpartial v(gamma(c))=0 para todo c em ] a, b[ Mostre que a imagem de gamma está contida em uma curva de nível de f.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f e uma curva diferenciável gamma:[a,b]toR^n. Em cada ponto gamma(c) com cin,]a,b[, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário
vec v=gamma'(c)|gamma'(c)|
é nula:
partial fpartialvec v(gamma(c))=0
O que precisamos mostrar é que fl(gamma(t)r) é constante em [a,b], isto é, a imagem de gamma fica toda numa mesma curva de nível de f.

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional de f na direção vec v é dada pelo produto escalar do gradiente de f com vec v, temos para todo cin,]a,b[:
partial fpartialvec v(gamma(c)) =nabla fl(gamma(c)r)cdotvec v =0
Como vec v=gamma'(c)/|gamma'(c)|, isso implica
nabla fl(gamma(c)r)cdotgamma'(c) =0

Passo 3

Pelo Teorema de derivação de composta (regra da cadeia), a derivada de fcircgamma é
ddt,fl(gamma(t)r) =nabla fl(gamma(t)r)cdotgamma'(t)
Substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
ddt,fl(gamma(t)r)=0 para todo tin,]a,b[

Passo 4

Como fcircgamma é diferenciável em ]a,b[ e sua derivada é identicamente zero, segue do Teorema Fundamental do Cálculo que fl(gamma(t)r) é constante em [a,b]. Logo existe um valor k tal que
fl(gamma(t)r)=k para todo tin[a,b]

Resposta

A composição fcircgamma é constante, portanto a imagem de gamma está contida na curva de nível
xinR^nmid f(x)=k

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