Seja
uma função diferenciável e seja
uma curva diferenciável em
e contínua em
. Suponha que a derivada direcional de
na direção
apontada por
(isto é,
no ponto
é sempre nula,ou seja
para todo
em
Mostre que a imagem de
está contida em uma curva de nível de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
e uma curva diferenciável
. Em cada ponto
com
, a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é nula:
O que precisamos mostrar é que
é constante em
, isto é, a imagem de
fica toda numa mesma curva de nível de
.
Passo 2
Lembrando que a derivada direcional de
na direção
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com
, temos para todo
:
Como
, isso implica
Passo 3
Pelo Teorema de derivação de composta (regra da cadeia), a derivada de
é
Substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
Passo 4
Como
é diferenciável em
e sua derivada é identicamente zero, segue do Teorema Fundamental do Cálculo que
é constante em
. Logo existe um valor
tal que
Resposta
A composição
é constante, portanto a imagem de
está contida na curva de nível