Encontre os pontos em R^3 mais próximos da origem e que estão sobre o cone z^2=x^2+y^2 e o plano x+2 y=6.

Passo 1

O problema pede para achar os pontos em R^3 sobre o cone z^2 = x^2 + y^2 e o plano x + 2y = 6 que minimizam a distância à origem. O conteúdo que vamos usar é otimização com multiplicadores de Lagrange, já que temos duas restrições e queremos minimizar f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.

Passo 2

Definimos a função a minimizar e as restrições:
Função objetivo:
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Restrições:
g1(x,y,z)=z^2 - x^2 - y^2 = 0, g2(x,y,z)=x + 2y - 6 = 0

Passo 3

Construímos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda,mu)=x^2+y^2+z^2 + lambda,(z^2 - x^2 - y^2)+ mu,(x+2y-6)
Pelo método, imponho
nablaL=0

Passo 4

Escrevo as equações de primeira ordem:
  1. 2x = lambda(-2x) + mu
  2. 2y = lambda(-2y) + 2mu
  3. 2z = 2lambda z
  4. z^2 - x^2 - y^2 = 0
  5. x+2y-6=0.

Passo 5

Da equação 3), se zneq0 temos
2z = 2lambda z implies lambda=1
Substituindo em 1) e 2):
2x = -2x + mu implies 4x = mu, 2y = -2y +2mu implies 4y =2mu =8x implies y=2x

Passo 6

Uso a restrição do plano x+2y=6:
x + 2(2x) =6 implies 5x =6 implies x=65, y=2x=125
Pela restrição do cone:
z^2 = x^2+y^2 = 36+14425=18025=365
Logo z=pm 6raiz5.

Passo 7

Concluímos que os únicos pontos admissíveis e de distância mínima são
l(tfrac65,tfrac125,tfrac6raiz5r) e l(tfrac65,tfrac125,-tfrac6raiz5r)

Resposta

Os pontos mais próximos da origem que satisfazem as duas restrições são l(6/5,,12/5,,6/raiz5r) e l(6/5,,12/5,,-6/raiz5r).

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