Encontre os pontos em
mais próximos da origem e que estão sobre o cone
e o plano
.
Passo 1
O problema pede para achar os pontos em
sobre o cone
e o plano
que minimizam a distância à origem. O conteúdo que vamos usar é otimização com multiplicadores de Lagrange, já que temos duas restrições e queremos minimizar
.
Passo 2
Definimos a função a minimizar e as restrições:
Função objetivo:
Função objetivo:
Restrições:
Passo 3
Construímos o Lagrangiano
Pelo método, imponho
Passo 4
Escrevo as equações de primeira ordem:
-
-
-
-
-
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Passo 5
Da equação 3), se
temos
Substituindo em 1) e 2):
Passo 6
Uso a restrição do plano
:
Pela restrição do cone:
Logo
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Passo 7
Concluímos que os únicos pontos admissíveis e de distância mínima são
Resposta
Os pontos mais próximos da origem que satisfazem as duas restrições são
e
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