Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
26. f(x, y)=x^2-y^2 com x^2+y^2=4

Passo 1

Temos a função alvo f(x,y)=x^2-y^2 com a condição x^2+y^2=4. O tema é extremos condicionados e vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos.

Passo 2

Definimos a Lagrangeana como
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-4r)=x^2-y^2-lambda(x^2+y^2-4)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
partial Lpartial x=2x-2lambda x=2x(1-lambda)=0,
partial Lpartial y=-2y-2lambda y=-2y(1+lambda)=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-4)=0Longrightarrow x^2+y^2=4

Passo 4

Das equações 2x(1-lambda)=0 e -2y(1+lambda)=0 vemos as possibilidades:
– Ou x=0 ou lambda=1.
– Ou y=0 ou lambda=-1.

Passo 5

Analisando os casos não-triviais que satisfazem a restrição:
– Se x=0, então y^2=4 e os pontos são (0,2) e (0,-2).
– Se y=0, então x^2=4 e os pontos são (2,0) e (-2,0).

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(0,pm2)=0^2-(pm2)^2=-4.
f(pm2,0)=(pm2)^2-0^2=4
Logo, concluímos quais são máximos e mínimos.

Resposta

Os valores extremos são: máximo f=4 em (2,0) e (-2,0); mínimo f=-4 em (0,2) e (0,-2).

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