Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
26.
26.
Passo 1
Temos a função alvo
com a condição
. O tema é extremos condicionados e vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos.
Passo 2
Definimos a Lagrangeana como
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
Passo 4
Das equações
e
vemos as possibilidades:
– Ou ou
.
– Ou ou
.
– Ou
– Ou
Passo 5
Analisando os casos não-triviais que satisfazem a restrição:
– Se , então
e os pontos são
e
.
– Se , então
e os pontos são
e
.
– Se
– Se
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos:
– .
–
Logo, concluímos quais são máximos e mínimos.
–
–
Logo, concluímos quais são máximos e mínimos.
Resposta
Os valores extremos são: máximo
em
e
; mínimo
em
e
.