Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
27. f(x, y)=x^2+y^2 com 2 x+3 y=6

Passo 1

A questão pede para encontrar os extremos de f(x,y)=x^2+y^2 sob a restrição 2x+3y=6. O conteúdo usado aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a achar pontos críticos de uma função sob restrição.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(2x+3y-6r). Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=2x-lambdacdot2=0 Rightarrow 2x=2lambda Rightarrow x=lambda.
partialLpartial y=2y-lambdacdot3=0 Rightarrow 2y=3lambda Rightarrow y=tfrac32lambda.
– Condição de restrição: 2x+3y=6.

Passo 3

Substituindo x=lambda e y=tfrac32lambda na restrição:
2(lambda)+3(tfrac32lambda)=6 Rightarrow 2lambda+tfrac92lambda=6 Rightarrow tfrac132lambda=6 Rightarrow lambda=tfrac1213

Passo 4

Logo,
x=lambda=tfrac1213
y=tfrac32lambda=tfrac32cdottfrac1213=tfrac1813

Passo 5

Calculamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfrac1213,tfrac1813r)=l(tfrac1213r)^2+l(tfrac1813r)^2=tfrac144+324169=tfrac468169

Passo 6

Como a reta 2x+3y=6 é ilimitada e f=x^2+y^2 cresce sem limite quando x,ytoinfty, não existe valor máximo sob essa restrição, apenas o mínimo encontrado.

Resposta

Mínimo global em (x,y)=(tfrac1213,tfrac1813) com valor f=tfrac468169. Não há máximo (f cresce indefinidamente).

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