os máximos e mínimos absolutos de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos o exercício que pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para identificar onde a função alcança seus valores extremos nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo dado. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é calculada usando a regra do quociente:
Simplificando isso:
Como
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
ou onde ela não existe. Olhando para a derivada:
O denominador
nunca é zero no intervalo
, porque
varia de 0 a 1/√2 nesse intervalo. Portanto, não há pontos onde a derivada não existe, e
nunca é zero.
Passo 5
Como não há pontos críticos onde
, os candidatos para os máximos e mínimos absolutos são os próprios extremos do intervalo. Ou seja, precisamos avaliar
em
e
.
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos finais:
Para
:
Para
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu máximo absoluto em
com valor
e seu mínimo absoluto em
com valor
.