os máximos e mínimos absolutos de f(x)=sin x1+cos (x) no intervalo [-pi2, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos o exercício que pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função f(x) = sin x1 + cos x no intervalo [-pi2, pi2] . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para identificar onde a função alcança seus valores extremos nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo dado. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos começar calculando a derivada de f(x) .

Passo 3

A derivada de f(x) em relação a x é calculada usando a regra do quociente:
f'(x) = (1 + cos x) cdot cos x - sin x cdot (-sin x)(1 + cos x)^2
Simplificando isso:
f'(x) = cos x + cos^2 x + sin^2 x(1 + cos x)^2
Como cos^2 x + sin^2 x = 1 , então:
f'(x) = cos x + 1(1 + cos x)^2 = 11 + cos x

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde f'(x) = 0 ou onde ela não existe. Olhando para a derivada:
f'(x) = 11 + cos x
O denominador 1 + cos x nunca é zero no intervalo [-pi2, pi2] , porque cos x varia de 0 a 1/√2 nesse intervalo. Portanto, não há pontos onde a derivada não existe, e f'(x) nunca é zero.

Passo 5

Como não há pontos críticos onde f'(x) = 0 , os candidatos para os máximos e mínimos absolutos são os próprios extremos do intervalo. Ou seja, precisamos avaliar f(x) em x = -pi2 e x = pi2 .

Passo 6

Vamos calcular f(x) nos pontos finais:
Para x = -pi2 :
f(-pi2) = sin(-pi2)1 + cos(-pi2) = -11 + 0 = -1
Para x = pi2 :
f(pi2) = sin(pi2)1 + cos(pi2) = 11 + 0 = 1

Resposta

No intervalo [-pi2, pi2] , a função f(x) = sin x1 + cos x atinge seu máximo absoluto em x = pi2 com valor 1 e seu mínimo absoluto em x = -pi2 com valor -1 .

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