Encontre, se possível, as assíntotas verticais e/ou horizontais da seguinte curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e/ou horizontais da curva definida pela função:
Vamos usar os conceitos de funções racionais e suas assíntotas. Para isso, precisamos entender quando a função tem assíntotas verticais (onde o denominador é zero) e assíntotas horizontais (comparando os graus do numerador e do denominador).
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, já que a divisão por zero não está definida.
Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Para resolver essa equação cúbica, tentamos encontrar suas raízes. Uma maneira fácil é testar valores que são divisores do termo constante (neste caso, 2). Vamos testar
:
Não funcionou. Vamos tentar
:
Ainda não. Testando
:
Não encontramos uma raiz inteira facilmente. Então, vamos usar a regra de Ruffini para fatorar o denominador.
Passo 4
Aplicando a regra de Ruffini para fatorar
, encontramos que:
Agora, fatoramos o quadrático restante:
Então, o denominador pode ser escrito como:
Passo 5
As raízes do denominador são
,
e
. Portanto, as possíveis assíntotas verticais são:
No entanto, precisamos verificar se alguma dessas raízes também é raiz do numerador para confirmar se são realmente assíntotas verticais ou se há um “furo” no gráfico.
Passo 6
Vamos verificar se
,
ou
anulam o numerador
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então,
e
anulam o numerador, o que significa que nesses pontos há “furos” no gráfico e não assíntotas verticais.
A única assíntota vertical real é
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
- O grau do numerador é 2 (porque
é o termo de maior grau). - O grau do denominador é 3 (porque
é o termo de maior grau).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A curva possui:
- Uma assíntota vertical em
- Uma assíntota horizontal em