Encontre, se possível, as assíntotas verticais e/ou horizontais da seguinte curva:
y = (4x^2 + 4x - 8) / (x^3 + 2x^2 - x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e/ou horizontais da curva definida pela função:
Vamos usar os conceitos de funções racionais e suas assíntotas. Para isso, precisamos entender quando a função tem assíntotas verticais (onde o denominador é zero) e assíntotas horizontais (comparando os graus do numerador e do denominador).

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, já que a divisão por zero não está definida.
Então, vamos resolver a equação do denominador:

Passo 3

Para resolver essa equação cúbica, tentamos encontrar suas raízes. Uma maneira fácil é testar valores que são divisores do termo constante (neste caso, 2). Vamos testar :
Não funcionou. Vamos tentar :
Ainda não. Testando :
Não encontramos uma raiz inteira facilmente. Então, vamos usar a regra de Ruffini para fatorar o denominador.

Passo 4

Aplicando a regra de Ruffini para fatorar , encontramos que:
Agora, fatoramos o quadrático restante:
Então, o denominador pode ser escrito como:

Passo 5

As raízes do denominador são , e . Portanto, as possíveis assíntotas verticais são:
No entanto, precisamos verificar se alguma dessas raízes também é raiz do numerador para confirmar se são realmente assíntotas verticais ou se há um “furo” no gráfico.

Passo 6

Vamos verificar se , ou anulam o numerador :
Para :
Para :
Para :
Então, e anulam o numerador, o que significa que nesses pontos há “furos” no gráfico e não assíntotas verticais.
A única assíntota vertical real é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
  • O grau do numerador é 2 (porque é o termo de maior grau).
  • O grau do denominador é 3 (porque é o termo de maior grau).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .

Resposta

A curva possui:
  • Uma assíntota vertical em
  • Uma assíntota horizontal em

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