Verifique que os seguintes vetores são LI ou LD.
(a, b, a+b) e (a, b, a-b) em R^3.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3:
v1 = (a,b,a+b), v2 = (a,b,a-b),
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Vamos usar a definição: v1 e v2 são LI se a única solução de
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0,0)
for alpha=beta=0; caso contrário, são LD.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero:
alpha,(a,b,a+b) + beta,(a,b,a-b) = (0,0,0)
Isso gera o sistema de três equações:
alpha,a + beta,a = 0, alpha,b + beta,b = 0, alpha,(a+b) + beta,(a-b) = 0

Passo 3

As duas primeiras equações podem ser escritas como
(alpha+beta),a = 0, (alpha+beta),b = 0
Se (a,b)neq(0,0), então necessariamente
alpha + beta = 0
pois ao menos um de a,b é não nulo.

Passo 4

Substituindo beta = -alpha na terceira equação:
alpha,(a+b) + (-alpha),(a-b) = alphal((a+b)-(a-b)r) = alpha,(2b) = 0
Logo,
2b,alpha = 0

Passo 5

Agora distinguimos casos:
– Se bneq 0, da equação acima vem alpha=0 e daí beta=-alpha=0. Logo só há a solução trivial, e os vetores são LI.
– Se b=0, temos v1=(a,0,a) e v2=(a,0,a), ou seja, são o mesmo vetor. Aí existe combinação não trivial ( alpha=1,beta=-1) que zera a soma, logo são LD.

Passo 6

Resta o caso (a,b)=(0,0). Então v1=(0,0,0) e v2=(0,0,0), obviamente LD pois qualquer combinação não trivial os anula.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes se, e somente se, bneq 0. Caso contrário ( b=0), são linearmente dependentes.

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