Numa espira circular de meio metro de raio, passa uma corrente constante de 2,0 A. A espira está sobre o plano xy e há um campo magnético uniforme apenas na região y>0 de módulo 0,50 T e direção perpendicular ao plano xy. O módulo da força magnética sobre a espira vale:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Física que envolve força magnética em circuitos. Temos uma espira circular com raio de meio metro na qual passa uma corrente constante de 2,0 A. A espira está posicionada no plano xy, e há um campo magnético uniforme de 0,50 T apenas na região onde y > 0, perpendicular ao plano xy. Nosso objetivo é encontrar o módulo da força magnética que atua sobre essa espira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força magnética em um elemento de corrente é dada pela fórmula:
Onde:
- $ I $ é a corrente,
- $ \mathbf{dl} $ é um elemento de comprimento da espira,
- $ \mathbf{B} $ é o campo magnético.
Passo 3
Como o campo magnético $ \mathbf{B} $ está presente apenas na região y > 0, apenas a metade da espira que está nessa região será afetada pela força magnética. A outra metade (y < 0) não sente a força, pois $ \mathbf{B} = 0 $ nessa área.
Passo 4
Vamos considerar a espira no plano xy com raio $ r = 0,5 , m $. O campo magnético é perpendicular ao plano, então podemos assumir que $ \mathbf{B} $ está na direção positiva do eixo z:
A força sobre um elemento $ \mathbf{dl} $ será então:
Passo 5
Para encontrar a força total $ \mathbf{F} $ sobre a metade da espira com $ y > 0 $, precisamos integrar a expressão da força ao longo desse arco. Em coordenadas polares, um elemento de comprimento é:
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ radianos para a metade superior.
O produto vetorial $ \mathbf{dl} \times \mathbf{B} $ fica:
Sabemos que $ \mathbf{e}_\theta \times \mathbf{k} = -\mathbf{e}_r $, onde $ \mathbf{e}_r $ é o vetor unitário radial. Então:
A força total é a integral dessa expressão:
Passo 6
Integrando $ \mathbf{e}_r $ sobre $ \theta $ de 0 a $ \pi $:
Calculando as integrais:
Portanto:
O módulo da força é:
Resposta
Substituindo os valores dados:
Portanto, o módulo da força magnética sobre a espira é 2,0 N.