Numa espira circular de meio metro de raio, passa uma corrente constante de 2,0 A. A espira está sobre o plano xy e há um campo magnético uniforme apenas na região y>0 de módulo 0,50 T e direção perpendicular ao plano xy. O módulo da força magnética sobre a espira vale:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Física que envolve força magnética em circuitos. Temos uma espira circular com raio de meio metro na qual passa uma corrente constante de 2,0 A. A espira está posicionada no plano xy, e há um campo magnético uniforme de 0,50 T apenas na região onde y > 0, perpendicular ao plano xy. Nosso objetivo é encontrar o módulo da força magnética que atua sobre essa espira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética em um elemento de corrente é dada pela fórmula:
dF = I , dl times B
Onde:
  • $ I $ é a corrente,
  • $ \mathbf{dl} $ é um elemento de comprimento da espira,
  • $ \mathbf{B} $ é o campo magnético.

Passo 3

Como o campo magnético $ \mathbf{B} $ está presente apenas na região y > 0, apenas a metade da espira que está nessa região será afetada pela força magnética. A outra metade (y < 0) não sente a força, pois $ \mathbf{B} = 0 $ nessa área.

Passo 4

Vamos considerar a espira no plano xy com raio $ r = 0,5 , m $. O campo magnético é perpendicular ao plano, então podemos assumir que $ \mathbf{B} $ está na direção positiva do eixo z:
r = 0,5 , m
A força sobre um elemento $ \mathbf{dl} $ será então:
B

Passo 5

Para encontrar a força total $ \mathbf{F} $ sobre a metade da espira com $ y > 0 $, precisamos integrar a expressão da força ao longo desse arco. Em coordenadas polares, um elemento de comprimento é:
F
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ radianos para a metade superior.
O produto vetorial $ \mathbf{dl} \times \mathbf{B} $ fica:
y > 0
Sabemos que $ \mathbf{e}_\theta \times \mathbf{k} = -\mathbf{e}_r $, onde $ \mathbf{e}_r $ é o vetor unitário radial. Então:
dl = r , dtheta , etheta
A força total é a integral dessa expressão:
theta

Passo 6

Integrando $ \mathbf{e}_r $ sobre $ \theta $ de 0 a $ \pi $:
er
Calculando as integrais:
theta
pi
Portanto:
integral0^pi er , dtheta = integral0^pi costheta , i + sintheta , j , dtheta
integral0^pi costheta , dtheta = sintheta |0^pi = 0
O módulo da força é:
integral0^pi sintheta , dtheta = -costheta |0^pi = 2

Resposta

Substituindo os valores dados:
|F| = 2 times 2,0 , A times 0,5 , m = 2,0 , N
Portanto, o módulo da força magnética sobre a espira é 2,0 N.

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