Encontre as potências A^2, A^3, B^2, B^3, C^2, C^3. Quais são A^k, B^k C^k?
A=[cc 12 & 12 12 & 12 ], B=[cc 1 & 0 0 & -1 ] e C=A B=[cc 12 & -12 12 & -12 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências das matrizes
A=tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac12, B=1&0[6pt]0&-1, C=AB=tfrac12&-tfrac12[6pt]tfrac12&-tfrac12,
ou seja, achar A^2, A^3, B^2, B^3, C^2, C^3 e, em seguida, a forma geral de A^k, B^k e C^k. Vamos usar propriedades de idempotência, de matrizes diagonais e de nilpotência.]

Passo 2

Calcular A^2 e A^3.
A^2 = Acdot A =tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & tfrac12 =tfrac14+tfrac14 & tfrac14+tfrac14[6pt]tfrac14+tfrac14 & tfrac14+tfrac14 =tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & tfrac12=A
Como A^2=A, segue imediatamente
A^3 = A^2cdot A = Acdot A = A
]

Passo 3

Concluímos que A é idempotente, isto é, para todo inteiro k>=1
A^k = A

Passo 4

Calcular B^2 e B^3. Como B é diagonal,
B^2 = 1^2&0[6pt]0&(-1)^2 =1&0[6pt]0&1=I, B^3 = B^2cdot B = Icdot B = B
]

Passo 5

Em geral, usando potências de matrizes diagonais,
B^k = 1^k&0[6pt]0&(-1)^k =1&0[6pt]0&(-1)^k
Em particular, se k é par, B^k=I; se k é ímpar, B^k=B.]

Passo 6

Calcular C^2 e C^3.
C^2 = (AB)(AB)=A,B,A,B
Fazendo a multiplicação direta de
tfrac12&-tfrac12[6pt]tfrac12&-tfrac12
por si mesma, cada entrada dá zero, logo
C^2 = 0&0[6pt]0&0
Como C^2=0, temos imediatamente
C^3 = C^2cdot C = 0cdot C = 0
]

Passo 7

Portanto C é nilpotente de índice 2 e para k>=2
C^k = 0
E obviamente C^1=C.

Resposta

A^2 = A, A^3 = A, e em geral A^k = A para todo k>=1.
B^2 = I, B^3 = B, e em geral
B^k = 1&0[6pt]0&(-1)^k
C^2 = 0, C^3 = 0, e em geral
C^1 = C, C^k = 0(para k>=2)
]

Exercícios relacionados