Encontre as potências
. Quais são
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular as potências das matrizes
ou seja, achar
A^2, A^3, B^2, B^3, C^2, C^3 e, em seguida, a forma geral de
A^k ,
B^k e
C^k . Vamos usar propriedades de idempotência, de matrizes diagonais e de nilpotência.]
Passo 2
Calcular
A^2 e
A^3 .
Como
A^2=A , segue imediatamente
]
Passo 3
Concluímos que
A é idempotente, isto é, para todo inteiro
k>=1
Passo 4
Calcular
B^2 e
B^3 . Como
B é diagonal,
]
Passo 5
Em geral, usando potências de matrizes diagonais,
Em particular, se
k é par,
B^k=I ; se
k é ímpar,
B^k=B .]
Passo 6
Calcular
C^2 e
C^3 .
Fazendo a multiplicação direta de
por si mesma, cada entrada dá zero, logo
Como
C^2=0 , temos imediatamente
]
Passo 7
Portanto
C é nilpotente de índice
2 e para
k>=2
E obviamente
C^1=C .
Resposta
]