Encontre, precisão de pelo menos 4 casas decimais, o valor aproximado de:
integral0^1 / 2 sen x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação, com pelo menos quatro casas decimais, do integral
integral0^1/2sin(x^2),dx
Este integral não tem primitiva elementar, então vamos usar expansão em série de Taylor de sin e integrar termo a termo até atingir o erro desejado.

Passo 2

Recordando a série de Taylor para sin z:
sin z = sumn=0^infty (-1)^n,z^2n+1(2n+1)!,
substituindo z=x^2 obtemos
sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+2(2n+1)!
Integramos de 0 a 1/2 termo a termo:
integral0^1/2x^4n+2,dx = (1/2)^4n+34n+3
Logo,
integral0^1/2sin(x^2),dx = sumn=0^infty(-1)^n,(1/2)^4n+3(4n+3),(2n+1)!

Passo 3

Calculamos os primeiros termos até que o módulo do próximo seja menor que 10^-5:
Para n=0:
T0 = (1/2)^33cdot1! = 124approx0,0416666667
Para n=1:
T1 = -,(1/2)^77cdot3! = -15376approx -0,0001860345
Para n=2:
T2 = (1/2)^1111cdot5! = 12703360approx0,0000003698
O termo seguinte ( n=3) já é da ordem de 10^-10, desprezível em relação a 10^-5.

Passo 4

Somando os três primeiros termos:
integral0^1/2sin(x^2),dx approx T0+T1+T2 approx 0,0416666667 - 0,0001860345 + 0,0000003698 = 0,0414810020
Isso garante precisão melhor que 10^-5, ou seja, pelo menos quatro casas decimais exatas.

Resposta

integral0^1/2sin(x^2),dx approx 0,04148

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