Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(f)
se
.
(f)
Passo 1
O enunciado define, para um fixo
, a relação
em
por
Precisamos verificar se essa relação é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.
Passo 2
Reflexividade: para todo
queremos
. Isso dá
Logo,
é reflexiva se, e somente se,
.
Passo 3
Simetria: se
então
. Para ser simétrica precisaríamos também
, ou seja
o que força
e, portanto,
. Assim,
é simétrica exatamente quando
.
Passo 4
Antissimetria: a definição exige que, se
e
, então
.
- Se
, a relação é a identidade, e claramente satisfaz a antissimetria. - Se
, não existem pares distintos tais que simultaneamente e , de modo que a condição “se e então ” vale vacuamente.
Portanto, para todo, é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: dados
com
e
, temos
Para que
seja verdade precisaríamos
, mas aqui
. Assim a única forma de
é
. Logo,
é transitiva se, e somente se,
.
Resposta
Para a relação
em
vale:
- Reflexiva: apenas quando
. - Simétrica: apenas quando
. - Antissimétrica: para todo
. - Transitiva: apenas quando
.