Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(f) n simk m se m-n=k(k=0,1,2, ldots).

Passo 1

O enunciado define, para um fixo kin0,1,2,dots, a relação simk em N por
nsimk m Long<=ftrightarrow m - n = k
Precisamos verificar se essa relação é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.

Passo 2

Reflexividade: para todo ninN queremos nsimk n. Isso dá
n - n = k Long<=ftrightarrow 0 = k
Logo, simk é reflexiva se, e somente se, k=0.

Passo 3

Simetria: se nsimk m então m = n + k. Para ser simétrica precisaríamos também msimk n, ou seja
n = m + k = (n + k) + k = n + 2k,
o que força 2k=0 e, portanto, k=0. Assim, simk é simétrica exatamente quando k=0.

Passo 4

Antissimetria: a definição exige que, se nsimk m e msimk n, então n=m.
  • Se k=0, a relação é a identidade, e claramente satisfaz a antissimetria.
  • Se k>0, não existem pares distintos n,m tais que simultaneamente m=n+k e n=m+k, de modo que a condição “se nsimk m e msimk n então n=m” vale vacuamente.
    Portanto, para todo k>=0, simk é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: dados n,p,m com nsimk p e psimk m, temos
p = n + k, m = p + k = n + 2k
Para que nsimk m seja verdade precisaríamos m - n = k, mas aqui m-n=2k. Assim a única forma de 2k=k é k=0. Logo, simk é transitiva se, e somente se, k=0.

Resposta

Para a relação simk em N vale:
  • Reflexiva: apenas quando k=0.
  • Simétrica: apenas quando k=0.
  • Antissimétrica: para todo k>=0.
  • Transitiva: apenas quando k=0.

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