Seja f: R R uma função contínua em R. Para n in N define-se a função f^n(x)=[f(x)]^n com x in R. Mostre que f^n também é contínua em R.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolon RtoR que é contínua em todo R e define
f^n(x) ;=; [f(x)]^n
para cada ninN. O que precisamos mostrar é que essa nova função f^n também é contínua em R. Vamos usar duas propriedades clássicas de continuidade: (i) toda função polinomial é contínua e (ii) a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Definimos a função potência
gcolon RtoR, g(y)=y^n
Como g é um polinômio de grau n, sabemos que g é contínua em todo R.

Passo 3

Observe que, por definição,
f^n(x) ;=; [f(x)]^n ;=; gl(f(x)r),
ou seja,
f^n ;=; gcirc f
Como f é contínua por hipótese e g é contínua pelo passo anterior, a composição gcirc f é contínua em R. Portanto, f^n é contínua em R.

Resposta

A função f^n(x)=[f(x)]^n é contínua em R.

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