Seja
uma função contínua em
. Para
define-se a função
com
. Mostre que
também é contínua em
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
que é contínua em todo
e define
para cada
. O que precisamos mostrar é que essa nova função
também é contínua em
. Vamos usar duas propriedades clássicas de continuidade: (i) toda função polinomial é contínua e (ii) a composição de funções contínuas é contínua.
Passo 2
Definimos a função potência
Como
é um polinômio de grau
, sabemos que
é contínua em todo
.
Passo 3
Observe que, por definição,
ou seja,
Como
é contínua por hipótese e
é contínua pelo passo anterior, a composição
é contínua em
. Portanto,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.