Encontre
, onde
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
, onde a função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Queremos a derivada de
avaliada em , ou seja .
Passo 2
Escolho usar a regra do quociente porque
é um quociente de duas funções diferenciáveis:
. A regra do quociente diz que, para
com
,
Aqui
é a derivada do numerador e
é a derivada do denominador. A ideia é aplicar essa fórmula e depois avaliar em
.
Passo 3
Calcular valores e derivadas necessárias passo a passo.
Primeiro os valores em
:
Agora as derivadas das funções componentes:
Avaliar essas derivadas em
:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente em
. Usando
substituindo os valores que calculamos:
Observação didática importante: a razão pela qual isso ficou tão simples é que
e
, então o termo
some e o denominador fica
.
Passo 5
Comentário alternativo (mais intuitivo): perto de
a função pode ser vista via desenvolvimento em série. O numerador tem termo linear
(coeficiente
) e o denominador tem termo constante
; portanto o coeficiente de
na expansão de
é
, o que confirma
. Isso é consistente com o cálculo direto acima.