Encontre R^{\prime}(0), onde
R(x)=\frac{x-3 x^{3}+5 x^{5}}{1+3 x^{3}+6 x^{6}+9 x^{9}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar R'(0), onde a função dada é
R(x)=\frac{x-3 x^{3}+5 x^{5}}{1+3 x^{3}+6 x^{6}+9 x^{9}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é N(x)=x-3 x^{3}+5 x^{5}.
  • O denominador é D(x)=1+3 x^{3}+6 x^{6}+9 x^{9}.
  • Queremos a derivada de R avaliada em x=0, ou seja R'(0).

Passo 2

Escolho usar a regra do quociente porque R é um quociente de duas funções diferenciáveis: R(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}. A regra do quociente diz que, para R(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} com D(x)\neq0,
R'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Aqui N'(x) é a derivada do numerador e D'(x) é a derivada do denominador. A ideia é aplicar essa fórmula e depois avaliar em x=0.

Passo 3

Calcular valores e derivadas necessárias passo a passo.
Primeiro os valores em 0:
N(0)=0-3\cdot0^{3}+5\cdot0^{5}=0, \qquad D(0)=1+3\cdot0^{3}+6\cdot0^{6}+9\cdot0^{9}=1.
Agora as derivadas das funções componentes:
N(x)=x-3x^{3}+5x^{5}\quad\Rightarrow\quad N'(x)=1-9x^{2}+25x^{4}.
D(x)=1+3x^{3}+6x^{6}+9x^{9}\quad\Rightarrow\quad D'(x)=9x^{2}+36x^{5}+81x^{8}.
Avaliar essas derivadas em x=0:
N'(0)=1-9\cdot0^{2}+25\cdot0^{4}=1, \qquad D'(0)=9\cdot0^{2}+36\cdot0^{5}+81\cdot0^{8}=0.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente em x=0. Usando
R'(0)=\frac{N'(0)D(0)-N(0)D'(0)}{D(0)^{2}},
substituindo os valores que calculamos:
R'(0)=\frac{1\cdot 1 - 0\cdot 0}{1^{2}}=\frac{1}{1}=1.
Observação didática importante: a razão pela qual isso ficou tão simples é que N(0)=0 e D(0)=1, então o termo -N(0)D'(0) some e o denominador fica 1.

Passo 5

Comentário alternativo (mais intuitivo): perto de 0 a função pode ser vista via desenvolvimento em série. O numerador tem termo linear x (coeficiente 1) e o denominador tem termo constante 1; portanto o coeficiente de x na expansão de R(x) é 1, o que confirma R'(0)=1. Isso é consistente com o cálculo direto acima.

Resposta

1

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