(a) Use duas vezes a Regra do Produto para demonstrar que, se
e
forem deriváveis, então
.
(b) Fazendo
na parte (a), mostre que
(b) Fazendo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá uma hipótese clara:
- Dados:
, e são funções diferenciáveis em algum ponto . - Pergunta (a): Demonstrar que
- Pergunta (b): Fazendo
na parte (a), mostrar que
Passo 2
Relembrando e provando a Regra do Produto para duas funções (ferramenta que vamos usar duas vezes). Seja
e
diferenciáveis em
. Por definição,
Ajunto e subtraio
dentro do numerador para separar as variações:
Escrevendo cada parte:
Agora passo ao limite
. Usando que
e
são diferenciáveis (logo contínuas), tem-se
e
Portanto, pelo teorema do limite da soma e produto,
Esta é a Regra do Produto para duas funções: derivada do produto é a soma das derivadas de cada uma vezes a outra não derivada.
Passo 3
Aplicar a Regra do Produto duas vezes para obter a fórmula para três funções. Escrevo o produto triplo como o produto de duas funções:
Use a Regra do Produto com
e
. Assim,
Agora preciso de
. Aplico a Regra do Produto para
e
:
Substituo isso na expressão anterior:
Distribuo
e
onde cabe:
Pronto — obtivemos exatamente a fórmula pedida.
Passo 4
Agora a parte (b): escolha
e
na fórmula geral. Substituindo:
Escrevendo com argumentos e agrupando fatores iguais (observe que todas as três parcelas são iguais e cada uma tem dois fatores
e um
):