(a) Use duas vezes a Regra do Produto para demonstrar que, se f, g e h forem deriváveis, então (f g h)^{\prime}=f^{\prime} g h+f g^{\prime} h+f g h^{\prime}.
(b) Fazendo f=g=h na parte (a), mostre que
\frac{d}{d x}[f(x)]^{3}=3[f(x)]^{2} f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá uma hipótese clara:
  • Dados: f, g e h são funções diferenciáveis em algum ponto x.
  • Pergunta (a): Demonstrar que
(f g h)^{\prime}=f^{\prime} g h+f g^{\prime} h+f g h^{\prime}.
  • Pergunta (b): Fazendo f=g=h na parte (a), mostrar que
\frac{d}{d x}[f(x)]^{3}=3[f(x)]^{2} f^{\prime}(x).

Passo 2

Relembrando e provando a Regra do Produto para duas funções (ferramenta que vamos usar duas vezes). Seja u e v diferenciáveis em x. Por definição,
(uv)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
Ajunto e subtraio u(x+h)v(x) dentro do numerador para separar as variações:
\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} =\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)}{h}+\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}.
Escrevendo cada parte:
\frac{u(x+h)\bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)}{h}+\frac{\bigl(u(x+h)-u(x)\bigr)v(x)}{h}.
Agora passo ao limite h\to 0. Usando que u e v são diferenciáveis (logo contínuas), tem-se u(x+h)\to u(x) e
\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=v^{\prime}(x),\qquad \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u^{\prime}(x).
Portanto, pelo teorema do limite da soma e produto,
(uv)^{\prime}(x)=u(x)\,v^{\prime}(x)+u^{\prime}(x)\,v(x).
Esta é a Regra do Produto para duas funções: derivada do produto é a soma das derivadas de cada uma vezes a outra não derivada.

Passo 3

Aplicar a Regra do Produto duas vezes para obter a fórmula para três funções. Escrevo o produto triplo como o produto de duas funções:
f g h = (f g)\cdot h.
Use a Regra do Produto com U=f g e V=h. Assim,
(f g h)^{\prime}=\bigl((f g)\cdot h\bigr)^{\prime}=(f g)^{\prime}\,h+(f g)\,h^{\prime}.
Agora preciso de (f g)^{\prime}. Aplico a Regra do Produto para f e g:
(f g)^{\prime}=f^{\prime}g+f g^{\prime}.
Substituo isso na expressão anterior:
(f g h)^{\prime}=\bigl(f^{\prime}g+f g^{\prime}\bigr)h+(f g)h^{\prime}.
Distribuo h e h^{\prime} onde cabe:
(f g h)^{\prime}=f^{\prime} g h+f g^{\prime} h+f g h^{\prime}.
Pronto — obtivemos exatamente a fórmula pedida.

Passo 4

Agora a parte (b): escolha g=f e h=f na fórmula geral. Substituindo:
\frac{d}{dx}[f(x)f(x)f(x)]=f^{\prime}f f+f f^{\prime}f+f f f^{\prime}.
Escrevendo com argumentos e agrupando fatores iguais (observe que todas as três parcelas são iguais e cada uma tem dois fatores f(x) e um f^{\prime}(x)):
\frac{d}{dx}[f(x)]^{3}=f^{\prime}(x)[f(x)]^{2}+f^{\prime}(x)[f(x)]^{2}+f^{\prime}(x)[f(x)]^{2}=3[f(x)]^{2}f^{\prime}(x).

Resposta

(f g h)^{\prime}=f^{\prime} g h+f g^{\prime} h+f g h^{\prime}
\displaystyle \frac{d}{d x}[f(x)]^{3}=3[f(x)]^{2} f^{\prime}(x)

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