Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
y=\frac{f(x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y=\dfrac{f(x)}{x^{2}}, sabendo que f é uma função derivável.
Informações dadas e observações relevantes:
  • A função é y=\dfrac{f(x)}{x^{2}}.
  • Foi dito que f é derivável, ou seja, f'(x) existe para os x considerados.
  • Como há divisão por x^{2}, o domínio relevante para a expressão dada exige x\neq 0.
  • A tarefa: encontrar uma expressão para y' em termos de f e f'.

Passo 2

Escolhemos reescrever y como um produto para usar a regra do produto (método simples e direto). Escrevendo:
y = f(x)\cdot x^{-2}.
A regra do produto diz o seguinte: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=f(x) e v(x)=x^{-2}. Vou aplicar essa fórmula. Antes, preciso da derivada de v(x), que vem da regra do poder (power rule): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.

Passo 3

Calcular v'(x). Como v(x)=x^{-2}, pela regra do poder:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = -2 x^{-3}.
Expliquei: multiplica-se o expoente -2 pelo termo e reduz-se o expoente em uma unidade, ficando -3.

Passo 4

Aplicar a regra do produto com u=f e v=x^{-2}:
y' = f'(x)\cdot x^{-2} + f(x)\cdot(-2 x^{-3}).
Ou, escrevendo de forma mais clara:
y' = f'(x)\,x^{-2} - 2\,f(x)\,x^{-3}.
Isto já é uma expressão correta para a derivada, válida quando x\neq 0.

Passo 5

Fazer uma simplificação algébrica para apresentar a derivada numa fração única (opcional, mas útil em provas). Colocando em denominador comum x^{3}:
f'(x)\,x^{-2} = \frac{f'(x)}{x^{2}} = \frac{x\,f'(x)}{x^{3}}, \qquad 2\,f(x)\,x^{-3} = \frac{2f(x)}{x^{3}}.
Subtraindo os numeradores sobre o mesmo denominador:
y'=\frac{x\,f'(x)-2\,f(x)}{x^{3}},\qquad x\neq 0.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo para ficar mais confiante. Tome f(x)=x^{3}. Então y=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x, logo y'=1. Pela fórmula:
f'(x)=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{x\cdot 3x^{2}-2\cdot x^{3}}{x^{3}}=\frac{3x^{3}-2x^{3}}{x^{3}}=\frac{x^{3}}{x^{3}}=1,
confere certinho.

Resposta

y'=\frac{x\,f'(x)-2\,f(x)}{x^{3}}

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