Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
, sabendo que
é uma função derivável.
Informações dadas e observações relevantes:
Informações dadas e observações relevantes:
- A função é
. - Foi dito que
é derivável, ou seja, existe para os considerados. - Como há divisão por
, o domínio relevante para a expressão dada exige . - A tarefa: encontrar uma expressão para
em termos de e .
Passo 2
Escolhemos reescrever
como um produto para usar a regra do produto (método simples e direto). Escrevendo:
A regra do produto diz o seguinte: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
e
. Vou aplicar essa fórmula. Antes, preciso da derivada de
, que vem da regra do poder (power rule): para um inteiro
,
Passo 3
Calcular
. Como
, pela regra do poder:
Expliquei: multiplica-se o expoente
pelo termo e reduz-se o expoente em uma unidade, ficando
.
Passo 4
Aplicar a regra do produto com
e
:
Ou, escrevendo de forma mais clara:
Isto já é uma expressão correta para a derivada, válida quando
.
Passo 5
Fazer uma simplificação algébrica para apresentar a derivada numa fração única (opcional, mas útil em provas). Colocando em denominador comum
:
Subtraindo os numeradores sobre o mesmo denominador:
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo para ficar mais confiante. Tome
. Então
, logo
. Pela fórmula:
confere certinho.