(a) Se
, onde
e
têm derivadas de todas as ordens, mostre que
.
(b) Encontre fórmulas análogas para
e
.
(c) Conjecture uma fórmula para
.
(b) Encontre fórmulas análogas para
(c) Conjecture uma fórmula para
Passo 1
O enunciado dá que
, onde
e
têm derivadas de todas as ordens. Pede:
- (a) Mostrar que
. - (b) Encontrar fórmulas análogas para
e . - (c) Conjecturar (e depois justificar) uma fórmula para
.
Informações relevantes dadas:
-
e são suficientemente suaves (deriváveis de todas as ordens). -
é o produto .
A partir disso devemos usar regras de diferenciação repetidas para obter as derivadas de ordem 2, 3, 4 e generalizar.
Passo 2
Lembrando a regra do produto de primeira ordem (fórmula fundamental que vamos usar muitas vezes):
Explicação curta do que isso significa: ao derivar um produto, a derivada atua em cada fator uma vez, somando as duas contribuições. Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
.
Passo 3
Derivando para obter a segunda derivada. Começamos aplicando a regra do produto para obter
:
Agora diferenciamos termo a termo usando novamente a regra do produto:
Aplicando a regra do produto em cada parcela:
Somando as duas expressões:
Observação didática: o termo
aparece duas vezes porque, ao derivar, a derivada pode cair sobre
(quando diferenciamos
) ou sobre
(quando diferenciamos
), e ambas produzem a mesma combinação
.
Passo 4
Derivando para obter a terceira derivada. Partimos da expressão já obtida:
Diferenciando termo a termo e aplicando a regra do produto às parcelas que são produtos:
Agora expandimos cada derivada:
Substituindo na expressão de
e lembrando do coeficiente
no meio:
Agrupando termos semelhantes:
Comentário amistoso: perceba os coeficientes
; eles já lembram os coeficientes binomiais da linha correspondente de Pascal.
Passo 5
Derivando para obter a quarta derivada. Partimos de
Diferenciando termo a termo:
Expandindo cada parcela com a regra do produto:
Agora colocamos os coeficientes e somamos:
Agrupando termos semelhantes e somando os coeficientes:
Note os coeficientes
— de novo aparecem os coeficientes binomiais.
Passo 6
Conjectura para a derivada de ordem
. Observando os padrões dos coeficientes e dos ordens das derivadas de
e
nas fórmulas anteriores, a conjectura natural é a seguinte:
Aqui
denota a
-ésima derivada de
,
a
-ésima derivada de
e
é o coeficiente binomial “n escolhe k”.
Intuição rápida: ao aplicar
derivações no produto, cada vez a derivada pode “cair” sobre
ou sobre
. Se derivarmos
vezes
e as outras
vezes
, obtemos o termo
; o número de maneiras de escolher quais
das
derivações atuam em
é
.
Passo 7
Prova por indução (justificação formal da conjectura).
Base : a fórmula dá
Base
que é a regra do produto conhecida. Logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum
, isto é,
Diferenciando ambos os lados para obter
:
pois aplicamos a regra do produto a cada termo
. Separe as duas somas:
Na primeira soma, faça a mudança de índice
(então
vai de
a
):
Na segunda soma, faça
(então
vai de
a
):
Somando as duas expressões (agora ambas em termos de
):
Reescrevendo como uma única soma de
a
e usando a identidade dos binomiais
(válida para
), e tratando as bordas
e
separadamente, obtemos
Isto é exatamente a fórmula para
. Assim a propriedade vale para todo
por indução.
Passo 8
Dica prática para prova/exame: quando precisar da derivada
-ésima de um produto, aplique a fórmula de Leibniz
calculando apenas os termos não nulos (por exemplo, se
ou
for um polinômio de grau baixo, muitas derivadas superiores serão zero). Para ordens pequenas (2,3,4) vale a pena lembrar os coeficientes binomiais padrão
,
,
.