(a) Se F(x)=f(x) g(x), onde f e g têm derivadas de todas as ordens, mostre que F^{\prime \prime}=f^{\prime \prime} g+2 f^{\prime} g^{\prime}+f g^{\prime \prime}.
(b) Encontre fórmulas análogas para F^{\prime \prime \prime} e F^{(4)}.
(c) Conjecture uma fórmula para F^{(n)}.

Passo 1

O enunciado dá que F(x)=f(x)g(x), onde f e g têm derivadas de todas as ordens. Pede:
  • (a) Mostrar que \,F''=f''g+2f'g'+fg''.
  • (b) Encontrar fórmulas análogas para \,F''' e \,F^{(4)}.
  • (c) Conjecturar (e depois justificar) uma fórmula para \,F^{(n)}.
Informações relevantes dadas:
  • f e g são suficientemente suaves (deriváveis de todas as ordens).
  • F é o produto f\cdot g.
    A partir disso devemos usar regras de diferenciação repetidas para obter as derivadas de ordem 2, 3, 4 e generalizar.

Passo 2

Lembrando a regra do produto de primeira ordem (fórmula fundamental que vamos usar muitas vezes):
(fg)' = f'g + fg'.
Explicação curta do que isso significa: ao derivar um produto, a derivada atua em cada fator uma vez, somando as duas contribuições. Aqui f' é a derivada de f e g' a derivada de g.

Passo 3

Derivando para obter a segunda derivada. Começamos aplicando a regra do produto para obter F':
F' = f'g + fg'.
Agora diferenciamos termo a termo usando novamente a regra do produto:
F'' = (f'g)' + (fg')'.
Aplicando a regra do produto em cada parcela:
(f'g)' = f''g + f'g', \qquad (fg')' = f'g' + fg''.
Somando as duas expressões:
F'' = \bigl(f''g + f'g'\bigr) + \bigl(f'g' + fg''\bigr) = f''g + 2f'g' + fg''.
Observação didática: o termo f'g' aparece duas vezes porque, ao derivar, a derivada pode cair sobre f (quando diferenciamos f'g) ou sobre g (quando diferenciamos fg'), e ambas produzem a mesma combinação f'g'.

Passo 4

Derivando para obter a terceira derivada. Partimos da expressão já obtida:
F'' = f''g + 2f'g' + fg''.
Diferenciando termo a termo e aplicando a regra do produto às parcelas que são produtos:
F''' = (f''g)' + 2(f'g')' + (fg'')'.
Agora expandimos cada derivada:
(f''g)' = f'''g + f''g',
(f'g')' = f''g' + f'g'',
(fg'')' = f'g'' + fg'''.
Substituindo na expressão de F''' e lembrando do coeficiente 2 no meio:
F''' = \bigl(f'''g + f''g'\bigr) + 2\bigl(f''g' + f'g''\bigr) + \bigl(f'g'' + fg'''\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
F''' = f'''g + 3f''g' + 3f'g'' + fg'''.
Comentário amistoso: perceba os coeficientes 1,3,3,1; eles já lembram os coeficientes binomiais da linha correspondente de Pascal.

Passo 5

Derivando para obter a quarta derivada. Partimos de
F''' = f'''g + 3f''g' + 3f'g'' + fg'''.
Diferenciando termo a termo:
F^{(4)} = (f'''g)' + 3(f''g')' + 3(f'g'')' + (fg''')'.
Expandindo cada parcela com a regra do produto:
(f'''g)' = f^{(4)}g + f'''g',
(f''g')' = f'''g' + f''g'',
(f'g'')' = f''g'' + f'g^{(3)},
(fg''')' = f'g^{(3)} + fg^{(4)}.
Agora colocamos os coeficientes e somamos:
F^{(4)} = \bigl(f^{(4)}g + f'''g'\bigr) +3\bigl(f'''g' + f''g''\bigr) +3\bigl(f''g'' + f'g^{(3)}\bigr) +\bigl(f'g^{(3)} + fg^{(4)}\bigr).
Agrupando termos semelhantes e somando os coeficientes:
F^{(4)} = f^{(4)}g + 4f^{(3)}g' + 6f''g'' + 4f'g^{(3)} + fg^{(4)}.
Note os coeficientes 1,4,6,4,1 — de novo aparecem os coeficientes binomiais.

Passo 6

Conjectura para a derivada de ordem n. Observando os padrões dos coeficientes e dos ordens das derivadas de f e g nas fórmulas anteriores, a conjectura natural é a seguinte:
F^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)\,g^{(n-k)}(x).
Aqui f^{(k)} denota a k-ésima derivada de f, g^{(n-k)} a (n-k)-ésima derivada de g e \binom{n}{k} é o coeficiente binomial “n escolhe k”.
Intuição rápida: ao aplicar n derivações no produto, cada vez a derivada pode “cair” sobre f ou sobre g. Se derivarmos k vezes f e as outras n-k vezes g, obtemos o termo f^{(k)}g^{(n-k)}; o número de maneiras de escolher quais k das n derivações atuam em f é \binom{n}{k}.

Passo 7

Prova por indução (justificação formal da conjectura).
Base n=1: a fórmula dá
F'(x)=\binom{1}{0}f^{(0)}g^{(1)}+\binom{1}{1}f^{(1)}g^{(0)}=fg'+f'g,
que é a regra do produto conhecida. Logo vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum n\ge1, isto é,
F^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.
Diferenciando ambos os lados para obter F^{(n+1)}:
F^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\bigl(f^{(k+1)}g^{(n-k)} + f^{(k)}g^{(n-k+1)}\bigr),
pois aplicamos a regra do produto a cada termo f^{(k)}g^{(n-k)}. Separe as duas somas:
F^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)} +\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k+1)}.
Na primeira soma, faça a mudança de índice j=k+1 (então j vai de 1 a n+1):
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)}=\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(j)}g^{(n+1-j)}.
Na segunda soma, faça j=k (então j vai de 0 a n):
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(j)}g^{(n+1-j)}.
Somando as duas expressões (agora ambas em termos de j):
F^{(n+1)}=\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(j)}g^{(n+1-j)} +\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(j)}g^{(n+1-j)}.
Reescrevendo como uma única soma de j=0 a n+1 e usando a identidade dos binomiais \binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j} (válida para 1\le j\le n), e tratando as bordas j=0 e j=n+1 separadamente, obtemos
F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(j)}g^{(n+1-j)}.
Isto é exatamente a fórmula para n+1. Assim a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N} por indução.

Passo 8

Dica prática para prova/exame: quando precisar da derivada n-ésima de um produto, aplique a fórmula de Leibniz
F^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)},
calculando apenas os termos não nulos (por exemplo, se f ou g for um polinômio de grau baixo, muitas derivadas superiores serão zero). Para ordens pequenas (2,3,4) vale a pena lembrar os coeficientes binomiais padrão (1,2,1), (1,3,3,1), (1,4,6,4,1).

Resposta

F''=f''g+2f'g'+fg''
F'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''
F^{(4)}=f^{(4)}g+4f^{(3)}g'+6f''g''+4f'g^{(3)}+fg^{(4)}
F^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}

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