Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
y=\frac{1+x f(x)}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá que f é uma função derivável e pede a derivada da função
y=\frac{1+x f(x)}{\sqrt{x}}.
Informações importantes que temos:
  • A função f é derivável, então f'(x) existe para os x do domínio.
  • A expressão contém \sqrt{x} no denominador, logo estamos considerando x>0 (domínio onde tudo faz sentido).
    O objetivo: encontrar uma expressão para y'= \dfrac{dy}{dx} em termos de x, f(x) e f'(x).

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão para facilitar a diferenciação. Uso álgebra para dividir cada termo pelo \sqrt{x}:
y=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x f(x)}{\sqrt{x}}.
Agora escrevo usando potências (isso deixa a aplicação da regra do poder mais direta):
y = x^{-1/2} + x^{1/2}\,f(x).
Observação: nessa reescrita usei que \dfrac{x}{\sqrt{x}}=x^{1-1/2}=x^{1/2}. Lembre-se: tudo válido para x>0.

Passo 3

Vou lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma bem prática):
  • Regra do poder (derivada de x^n): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n pode ser negativo ou fracionário.
    • Exemplo rápido: a derivada de x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)' = u' v + u v'.Ou seja, derivamos uma das partes mantendo a outra, e somamos o termo com a parte derivada trocada.
  • Derivada soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
No nosso caso a primeira parcela x^{-1/2} usa a regra do poder. A segunda parcela x^{1/2} f(x) é um produto entre u(x)=x^{1/2} e v(x)=f(x), então usamos a regra do produto.

Passo 4

Derivo termo a termo.
  1. Derivada de x^{-1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)= -\tfrac{1}{2} x^{-3/2}.
Expliquei: apliquei n=-\tfrac{1}{2} na regra do poder.
  1. Derivada de x^{1/2} f(x) usando a regra do produto. Defino u(x)=x^{1/2} e v(x)=f(x).
  • u'(x)=\tfrac{1}{2} x^{-1/2} (regra do poder com n=\tfrac{1}{2}).
  • v'(x)=f'(x) (por definição).
    Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2} f(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = \tfrac{1}{2} x^{-1/2} f(x) + x^{1/2} f'(x).

Passo 5

Junto as duas parcelas derivadas para obter y':
y' = -\tfrac{1}{2} x^{-3/2} + \tfrac{1}{2} x^{-1/2} f(x) + x^{1/2} f'(x).
Posso reescrever de forma mais “clara” usando raízes em vez de potências negativas:
y' = -\frac{1}{2 x^{3/2}} + \frac{f(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,f'(x).
Se preferir uma única fração, também é possível combinar tudo, mas a forma acima é direta e fácil de usar em prova.
Dica rápida para a prova: quando aparecer algo sobre \sqrt{x} no denominador, tente reescrever em potências x^{\alpha}; normalmente isso simplifica a aplicação das regras de derivação.

Resposta

-\dfrac{1}{2 x^{3/2}}+\dfrac{f(x)}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,f'(x)

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