Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função derivável e pede a derivada da função
Informações importantes que temos:
- A função
é derivável, então existe para os do domínio. - A expressão contém
no denominador, logo estamos considerando (domínio onde tudo faz sentido).
O objetivo: encontrar uma expressão paraem termos de , e .
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão para facilitar a diferenciação. Uso álgebra para dividir cada termo pelo
:
Agora escrevo usando potências (isso deixa a aplicação da regra do poder mais direta):
Observação: nessa reescrita usei que
. Lembre-se: tudo válido para
.
Passo 3
Vou lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma bem prática):
- Regra do poder (derivada de
): se então . Aqui pode ser negativo ou fracionário. - Exemplo rápido: a derivada de
é .
- Exemplo rápido: a derivada de
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então Ou seja, derivamos uma das partes mantendo a outra, e somamos o termo com a parte derivada trocada. - Derivada soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
No nosso caso a primeira parcela
usa a regra do poder. A segunda parcela
é um produto entre
e
, então usamos a regra do produto.
Passo 4
Derivo termo a termo.
- Derivada de
:
Expliquei: apliquei
na regra do poder.
- Derivada de
usando a regra do produto. Defino e .
-
(regra do poder com ). -
(por definição).
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Junto as duas parcelas derivadas para obter
:
Posso reescrever de forma mais “clara” usando raízes em vez de potências negativas:
Se preferir uma única fração, também é possível combinar tudo, mas a forma acima é direta e fácil de usar em prova.
Dica rápida para a prova: quando aparecer algo sobre
no denominador, tente reescrever em potências
; normalmente isso simplifica a aplicação das regras de derivação.