Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- encontrar a primeira derivada
; - encontrar a segunda derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- a variável independente é
; - a função é a composição da função cosseno com o polinômio
.
Passo 2
Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
- Derivada do cosseno: para uma função qualquer
depende de ,
Isto é a regra da cadeia: primeiro deriva-se a função externa (
vira
) e multiplica-se pelo derivado da função interna
.
- Derivada de
é
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Aqui a função externa é
e a função interna é
. Pelo passo anterior:
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Organizando o resultado da primeira derivada de forma mais usual:
Explanação curta: o fator
veio da derivada do cosseno e o
veio da derivada de
.
Passo 5
Agora para a segunda derivada precisamos derivar
. Aqui é um produto entre duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto:
Calculemos as derivadas parciais:
-
- Para
usamos novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Agora simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 7
Podemos escrever a segunda derivada de forma factorizada, se quiseres um formato compacto:
Dica de prova: verifique sinais com calma — é fácil esquecer o sinal negativo vindo de
.