Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=\cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)
e pede duas coisas:
  • encontrar a primeira derivada y';
  • encontrar a segunda derivada y''.
Informações relevantes fornecidas:
  • a variável independente é x;
  • a função é a composição da função cosseno com o polinômio x^{2}.

Passo 2

Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Derivada do cosseno: para uma função qualquer u depende de x,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(u)\bigr) = -\sin(u)\cdot \frac{du}{dx}.
Isto é a regra da cadeia: primeiro deriva-se a função externa ( \cos vira -\sin) e multiplica-se pelo derivado da função interna u(x).
  • Derivada de x^{2} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Aqui a função externa é \cos(\cdot) e a função interna é u(x)=x^{2}. Pelo passo anterior:
y'=\frac{d}{dx}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr) = -\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
Substituindo \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, obtemos
y' = -\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 4

Organizando o resultado da primeira derivada de forma mais usual:
y'=-2x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).
Explanação curta: o fator -\sin(x^{2}) veio da derivada do cosseno e o 2x veio da derivada de x^{2}.

Passo 5

Agora para a segunda derivada precisamos derivar y'=-2x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr). Aqui é um produto entre duas funções de x: u(x)=-2x e v(x)=\sin\!\bigl(x^{2}\bigr). Usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.
Calculemos as derivadas parciais:
  • u(x)=-2x \Rightarrow u'(x)=-2.
  • Para v(x)=\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) usamos novamente a regra da cadeia:
v'(x)=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x=2x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
y'' = u'v + u v' = (-2)\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) + (-2x)\cdot\bigl(2x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
Agora simplificando o segundo termo:
(-2x)\cdot(2x\cos(x^{2})) = -4x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).
Portanto
y'' = -2\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) - 4x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 7

Podemos escrever a segunda derivada de forma factorizada, se quiseres um formato compacto:
y'' = -2\Bigl(\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) + 2x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr).
Dica de prova: verifique sinais com calma — é fácil esquecer o sinal negativo vindo de \dfrac{d}{dx}\cos = -\sin.

Resposta

y'=-2x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)
y''=-2\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)-4x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)

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