Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar a primeira derivada
. - Encontrar a segunda derivada
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
(ou seja, o quadrado da função cosseno). - Não há outras condições adicionais (domínio, pontos específicos etc.).
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (e por que):
Existem duas maneiras naturais e simples para derivar :
Existem duas maneiras naturais e simples para derivar
- Usar a regra da cadeia diretamente tomando
e . Esta é a maneira mais básica e direta para funções “uma dentro da outra”. - Alternativamente, usar a identidade trigonométrica
e derivar a forma já simplificada. É útil como verificação.
Vou usar a regra da cadeia como método principal porque é um conceito básico de derivação que aparece muito em provas; depois mostro a identidade como conferência rápida. Antes de aplicar, eu explico as regras que vou usar.
Passo 3
Relembrando as regras necessárias (com explicação simples):
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: primeiro derivar a função externa
avaliando-a em
, depois multiplicar pela derivada da função interna
.
- Derivadas trigonométricas básicas:
Explicação curta: é a regra padrão que se aprende para derivadas de seno e cosseno.
- Regra do produto (caso seja útil): se
, então
Vou usar principalmente a regra da cadeia, mas mostro o produto como alternativa.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
Defino (função interna) e
(função externa). Agora calculo as derivadas parciais:
Defino
Pela regra da cadeia,
Substituindo
,
Passo 5
Simplificação e forma alternativa para a primeira derivada:
Usando a identidade trigonométrica para o produto ,
Usando a identidade trigonométrica para o produto
Portanto
Ambas as formas são corretas e equivalentes. Se preferir, também se pode obter
aplicando a regra do produto a
— isso serve como verificação.
Passo 6
Agora vamos obter a segunda derivada: diferencio
. Existem duas rotas claras: (A) derivar
aplicando a regra do produto; (B) derivar a forma
usando a regra da cadeia. Faço as duas para mostrar que dão o mesmo resultado.
Rota A — derivando
com regra do produto:
Escrevo . A constante
fica fora, e uso produto em
.
Derivadas parciais:
Escrevo
Derivadas parciais:
Aplicando produto:
Multiplicando pela constante
:
Agora uso a identidade trigonométrica
logo
Passo 7
Rota B — derivando a forma
(verificação mais curta):
Parto de . Aplico a regra da cadeia com
:
Parto de
Chegamos ao mesmo resultado que pela Rota A, então a segunda derivada é consistente.
Passo 8
Resumo do que aprendemos e dica de prova:
- Para funções do tipo
, a regra da cadeia com é direta: derive o quadrado como e multiplique por . - Em funções trigonométricas, reconhecer identidades como
e torna as simplificações muito rápidas. - Em prova, se ficar na dúvida, derive com regra da cadeia; se quiser simplificar a resposta, use as identidades trigonométricas para escrever em termos de ângulos duplos.