Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado dá a função y=\cos^{2} x e pede duas coisas:
  • Encontrar a primeira derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Encontrar a segunda derivada y''=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é \;y=(\cos x)^{2}\; (ou seja, o quadrado da função cosseno).
  • Não há outras condições adicionais (domínio, pontos específicos etc.).

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (e por que):
Existem duas maneiras naturais e simples para derivar \;y=(\cos x)^{2}\;:
  1. Usar a regra da cadeia diretamente tomando u=\cos x e y=u^{2}. Esta é a maneira mais básica e direta para funções “uma dentro da outra”.
  2. Alternativamente, usar a identidade trigonométrica \cos^{2}x=\tfrac{1+\cos(2x)}{2} e derivar a forma já simplificada. É útil como verificação.
Vou usar a regra da cadeia como método principal porque é um conceito básico de derivação que aparece muito em provas; depois mostro a identidade como conferência rápida. Antes de aplicar, eu explico as regras que vou usar.

Passo 3

Relembrando as regras necessárias (com explicação simples):
  • Regra da cadeia: se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa: primeiro derivar a função externa f avaliando-a em g(x), depois multiplicar pela derivada da função interna g(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x,\qquad \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Explicação curta: é a regra padrão que se aprende para derivadas de seno e cosseno.
  • Regra do produto (caso seja útil): se h(x)=u(x)v(x), então
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Vou usar principalmente a regra da cadeia, mas mostro o produto como alternativa.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
Defino u=\cos x (função interna) e y=u^{2} (função externa). Agora calculo as derivadas parciais:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x,
\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u^{2})=2u.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot(-\sin x).
Substituindo u=\cos x,
\frac{dy}{dx}=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.

Passo 5

Simplificação e forma alternativa para a primeira derivada:
Usando a identidade trigonométrica para o produto \sin x\cos x,
2\sin x\cos x=\sin(2x).
Portanto
\frac{dy}{dx}=-2\cos x\sin x = -\sin(2x).
Ambas as formas são corretas e equivalentes. Se preferir, também se pode obter -2\cos x\sin x aplicando a regra do produto a y=\cos x\cdot\cos x — isso serve como verificação.

Passo 6

Agora vamos obter a segunda derivada: diferencio y'=-2\cos x\sin x. Existem duas rotas claras: (A) derivar -2\cos x\sin x aplicando a regra do produto; (B) derivar a forma -\sin(2x) usando a regra da cadeia. Faço as duas para mostrar que dão o mesmo resultado.
Rota A — derivando -2\cos x\sin x com regra do produto:
Escrevo y'=-2\big(\cos x\big)\big(\sin x\big). A constante -2 fica fora, e uso produto em \cos x\cdot\sin x.
Derivadas parciais:
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Aplicando produto:
\frac{d}{dx}(\cos x\sin x)=(-\sin x)\sin x + \cos x(\cos x) = -\sin^{2}x+\cos^{2}x.
Multiplicando pela constante -2:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2\big(-\sin^{2}x+\cos^{2}x\big)=-2\big(\cos^{2}x-\sin^{2}x\big).
Agora uso a identidade trigonométrica
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x,
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\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2\cos(2x).

Passo 7

Rota B — derivando a forma -\sin(2x) (verificação mais curta):
Parto de y'=-\sin(2x). Aplico a regra da cadeia com v=2x:
\frac{d}{dx}\big(-\sin(2x)\big) = -\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) = -\cos(2x)\cdot 2 = -2\cos(2x).
Chegamos ao mesmo resultado que pela Rota A, então a segunda derivada é consistente.

Passo 8

Resumo do que aprendemos e dica de prova:
  • Para funções do tipo (\text{algo})^{2}, a regra da cadeia com u=\text{algo} é direta: derive o quadrado como 2u e multiplique por u'.
  • Em funções trigonométricas, reconhecer identidades como \sin(2x)=2\sin x\cos x e \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x torna as simplificações muito rápidas.
  • Em prova, se ficar na dúvida, derive com regra da cadeia; se quiser simplificar a resposta, use as identidades trigonométricas para escrever em termos de ângulos duplos.

Resposta

y'=-2\cos x\sin x=-\sin(2x)\n y''=-2\cos(2x)

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