Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- A primeira derivada
. - A segunda derivada
.
Informações que temos (símbolos):
-
e são constantes (podem ser quaisquer números reais). - A variável é
.
Nada mais é pedido além de calcular as derivadas.
Passo 2
Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicação didática):
- Derivada da exponencial composta: para
, pela regra da cadeia,
Aqui
é constante, então derivar
dá
, que multiplica a exponencial.
- Derivada do seno composto: para
,
Isto vem da derivada de
(que é
) e da regra da cadeia pelo fator
.
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derive uma, deixe a outra, some com a outra derivada vezes a primeira função.
Vou aplicar essas três ideias passo a passo à nossa função.
Passo 3
Identifico as duas funções do produto:
Usando a regra do produto,
Agora substituo
e
usando o que vimos no Passo 2.
Passo 4
Calcular
e
:
Substituindo na regra do produto:
Passo 5
Coloco
em evidência para simplificar (é um truque útil na prova):
Isso já é a forma final e bem prática para a primeira derivada.
Passo 6
Para achar a segunda derivada eu vou derivar
. Escolho derivar a forma fatorada
Uso novamente a regra do produto:
e
precisa ser calculado com a regra da cadeia nas funções trigonométricas.
Passo 7
Calculo
:
Ou seja,
Agora aplico a regra do produto para
:
Passo 8
Agrupo os termos e fatoro
:
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Pronto — essa é uma forma limpa e muito usada em provas (mostra claramente a combinação entre
e
).