Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
y=e^{a x} \sin \beta x

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=e^{a x}\sin\beta x\; e pede:
  • A primeira derivada \;y'\;.
  • A segunda derivada \;y''\;.
Informações que temos (símbolos):
  • \;a\; e \;\beta\; são constantes (podem ser quaisquer números reais).
  • A variável é \;x\;.
    Nada mais é pedido além de calcular as derivadas.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicação didática):
  1. Derivada da exponencial composta: para \;u(x)=e^{a x}\;, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}.
Aqui \;a\; é constante, então derivar a x a, que multiplica a exponencial.
  1. Derivada do seno composto: para \;v(x)=\sin(\beta x)\;,
\frac{d}{dx}\sin(\beta x)=\beta\cos(\beta x).
Isto vem da derivada de \sin (que é \cos) e da regra da cadeia pelo fator \beta.
  1. Regra do produto: se \;u(x) e \;v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derive uma, deixe a outra, some com a outra derivada vezes a primeira função.
Vou aplicar essas três ideias passo a passo à nossa função.

Passo 3

Identifico as duas funções do produto:
u(x)=e^{a x},\qquad v(x)=\sin(\beta x).
Usando a regra do produto,
y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Agora substituo u'(x) e v'(x) usando o que vimos no Passo 2.

Passo 4

Calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\sin(\beta x)=\beta\cos(\beta x).
Substituindo na regra do produto:
y'=a e^{a x}\sin(\beta x)+e^{a x}\cdot\beta\cos(\beta x).

Passo 5

Coloco e^{a x} em evidência para simplificar (é um truque útil na prova):
y'=e^{a x}\bigl(a\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr).
Isso já é a forma final e bem prática para a primeira derivada.

Passo 6

Para achar a segunda derivada eu vou derivar \;y'\;. Escolho derivar a forma fatorada
y'=e^{a x}\,w(x),\qquad\text{onde}\quad w(x)=a\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x).
Uso novamente a regra do produto: \;(e^{a x})' = a e^{a x}\; e \;w'(x) precisa ser calculado com a regra da cadeia nas funções trigonométricas.

Passo 7

Calculo w'(x):
w'(x)=a\cdot\frac{d}{dx}\sin(\beta x)+\beta\cdot\frac{d}{dx}\cos(\beta x) = a\cdot\beta\cos(\beta x)+\beta\cdot(-\beta\sin(\beta x)).
Ou seja,
w'(x)=a\beta\cos(\beta x)-\beta^{2}\sin(\beta x).
Agora aplico a regra do produto para y'':
y''=(e^{a x})'w(x)+e^{a x}w'(x) = a e^{a x} \bigl(a\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr) + e^{a x}\bigl(a\beta\cos(\beta x)-\beta^{2}\sin(\beta x)\bigr).

Passo 8

Agrupo os termos e fatoro e^{a x}:
y''=e^{a x}\Bigl(a\bigl(a\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr) + \bigl(a\beta\cos(\beta x)-\beta^{2}\sin(\beta x)\bigr)\Bigr).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
y''=e^{a x}\Bigl((a^{2}-\beta^{2})\sin(\beta x) + 2a\beta\cos(\beta x)\Bigr).
Pronto — essa é uma forma limpa e muito usada em provas (mostra claramente a combinação entre \sin e \cos).

Resposta

y'=e^{a x}\bigl(a\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr)
y''=e^{a x}\bigl((a^{2}-\beta^{2})\sin(\beta x)+2a\beta\cos(\beta x)\bigr)

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