Encontre a primitiva.
integral0^2 x^3 raizx^2+4 d x.

Passo 1

O exercício pede calcular a integral
integral0^2 x^3raizx^2+4,dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição: vamos achar uma primitiva de x^3raizx^2+4 usando troca de variável e depois avaliar nos limites 0 e 2.

Passo 2

Escolhemos a substituição clássica para radicais do tipo raizx^2+a^2:
u = x^2 + 4 Longrightarrow du = 2x,dx, x^2 = u - 4
Logo
x^3,dx = x^2cdot x,dx = (u-4)du2
Quando x=0, u=4; quando x=2, u=8. Portanto
integral0^2 x^3raizx^2+4,dx = 12 integral4^8 (u-4),u^1/2,du

Passo 3

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
12integral4^8l(u^3/2-4u^1/2r)du = 12l[25,u^5/2-4cdot23,u^3/2r]4^8 = l[15,u^5/2-43,u^3/2r]4^8

Passo 4

Agora é só voltar a x (via u=x^2+4) e avaliar nos limites:
Para u=8:
8^1/2=2raiz2, 8^3/2=16raiz2, 8^5/2=128raiz2,
então
F(2)=15,128raiz2-43,16raiz2 =128raiz25-64raiz23
Para u=4:
4^1/2=2, 4^3/2=8, 4^5/2=32,
logo
F(0)=15,32-43,8 =325-323
Fazendo F(2)-F(0) e colocando sob denominador comum, obtém-se
integral0^2 x^3raizx^2+4,dx = 6415,(raiz2+1)

Resposta

6415,(raiz2+1)

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