Encontre a primitiva.
integral x^2+1x^2-x d x.

Passo 1

Beleza, a gente quer encontrar a primitiva de
integral x^2+1x^2-x,dx
Isso é uma integral de função racional, então o truque é dividir polinômios (quando o grau do numerador não é menor que o do denominador) e depois fazer frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios:
x^2+1x^2-x = 1 + (x^2+1)-(x^2-x)x^2-x = 1 + x+1x(x-1)

Passo 3

Agora decompomos
x+1x(x-1) = Ax + Bx-1
Isso implica
x+1 = A(x-1) + Bx = (A+B),x - A
Comparando coeficientes, temos
A + B = 1, -,A = 1,
logo A=-1 e B=2. Assim
x+1x(x-1) = -1x + 2x-1

Passo 4

Substituindo de volta na integral, fica
integral x^2+1x^2-x,dx = integral!l(1 - 1x + 2x-1r),dx = integral 1,dx - integral 1x,dx + 2integral 1x-1,dx
Integrando termo a termo:
integral 1,dx = x, integral 1x,dx = lnl|xr|, integral 1x-1,dx = lnl|x-1r|
Logo a primitiva geral é
x - lnl|xr| + 2,lnl|x-1r| + C

Resposta

x - lnl|xr| + 2,lnl|x-1r| + C

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