Encontre a primitiva.
integral arcsin x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral arcsin x , dx
O conteúdo que vamos usar é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral:
u = arcsin x, dv = dx
Então precisamos de du e de v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, obtemos
du = 1raiz1 - x^2,dx, v = x

Passo 4

Aplicando integração por partes:
integral arcsin x ,dx = u,v - integral v,du = x,arcsin x - integral x cdot 1raiz1 - x^2,dx

Passo 5

Para
integral xraiz1 - x^2,dx
fazemos a substituição t = 1 - x^2, logo dt = -2x,dx, ou seja x,dx = -tfrac12,dt.
Isso dá
integral xraiz1 - x^2,dx = integral -tfrac12,dtraizt = -12 integral t^-tfrac12,dt = -12 cdot 2,t^tfrac12 = -raizt = -raiz1 - x^2

Passo 6

Voltando à integração por partes, temos
integral arcsin x ,dx = x,arcsin x - l(-raiz1 - x^2r) = x,arcsin x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

boxedintegral arcsin x ,dx = x,arcsin x + raiz1 - x^2 + C

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