Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
d^2 xd t^2 & =4 y+e^t d y^2d t^2 & =4 x+e^t.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de equações diferenciais lineares
d^2xdt^2=4,y+e^t, d^2ydt^2=4,x+e^t
e pede a solução geral via método dos operadores diferenciais. Vamos usar D=ddt para transformar e desacoplar o sistema.

Passo 2

Aplicando D^2 à primeira equação:
D^2l(D^2xr)=D^2(4y+e^t) ;Longrightarrow; D^4x=4,D^2y+D^2e^t
Como da segunda equação D^2y=4x+e^t e D^2e^t=e^t, obtemos
D^4x=4(4x+e^t)+e^t=16x+5e^t ;Longrightarrow; (D^4-16)x=5e^t

Passo 3

A equação homogênea associada é
(D^4-16)x=0 ;Longrightarrow; r^4-16=0 ;Longrightarrow; r^2=pm4 ;Longrightarrow; r=pm2,;pm2i
Logo a solução geral homogênea é
xh(t)=A,e^2t+B,e^-2t+Ccos(2t)+Dsin(2t)

Passo 4

Para uma particular procuramos xp(t)=alpha e^t. Substituindo em (D^4-16)x=5e^t
(1^4-16)alpha e^t=5e^t ;Longrightarrow; -15alpha=5 ;Longrightarrow; alpha=-tfrac13
Assim
x(t)=A,e^2t+B,e^-2t+Ccos(2t)+Dsin(2t)-tfrac13e^t

Passo 5

Para encontrar y(t) usamos a primeira equação reescrita como
y=14l(D^2x-e^tr)
Calculando
D^2x=4A,e^2t+4B,e^-2t-4Ccos(2t)-4Dsin(2t)-tfrac13e^t,
vem
y(t)=A,e^2t+B,e^-2t-Ccos(2t)-Dsin(2t)-tfrac13e^t

Resposta

boxed x(t)&=A,e^2t+B,e^-2t+Ccos(2t)+Dsin(2t)-tfrac13e^t, y(t)&=A,e^2t+B,e^-2t-Ccos(2t)-Dsin(2t)-tfrac13e^t,
em que A,B,C,D são constantes arbitrárias.

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