Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
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Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de equações diferenciais lineares
e pede a solução geral via método dos operadores diferenciais. Vamos usar
D=ddt para transformar e desacoplar o sistema.
Passo 2
Aplicando
D^2 à primeira equação:
Como da segunda equação
D^2y=4x+e^t e
D^2e^t=e^t , obtemos
Passo 3
A equação homogênea associada é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 4
Para uma particular procuramos
xp(t)=alpha e^t . Substituindo em
(D^4-16)x=5e^t dá
Assim
Passo 5
Para encontrar
y(t) usamos a primeira equação reescrita como
Calculando
vem
Resposta
em que
A,B,C,D são constantes arbitrárias.