Encontre a primitiva.
integral0^2 x^3+x^2-12 x+1x^2+x-12 d x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
x^3+x^2-12x+1x^2+x-12
e também calcular a integral definida de 0 a 2. O conteúdo envolve integração de função racional e vamos precisar de divisão de polinômios, frações parciais e das regras básicas de integração (potência e logaritmo).

Passo 2

Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), fazemos a divisão de polinômios: x^3+x^2-12x+1x^2+x-12=x+1x^2+x-12

Passo 3

Para integrar a parte racional restante, fatoramos o denominador e usamos frações parciais:
x^2+x-12=(x+4)(x-3)
Assumimos
1(x+4)(x-3)=Ax+4+Bx-3
e obtemos
1=A(x-3)+B(x+4)
Escolhendo valores convenientes, para x=3 temos B=1/7; para x=-4 temos A=-1/7.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Usamos
integral x,dx=x^22,
integraldxx+4=ln|x+4|,
integraldxx-3=ln|x-3|
Assim uma primitiva é
F(x)=x^22-17ln|x+4|+17ln|x-3|+C
opcionalmente combinada em um só logaritmo:
F(x)=x^22+17lnl|x-3x+4r|+C

Passo 5

Para a integral definida calculamos F(2)-F(0):
F(2)=2+17lnl|2-32+4r|=2+17ln16,
F(0)=0+17lnl|-34r|=17ln34
Logo
integral0^2x^3+x^2-12x+1x^2+x-12,dx=F(2)-F(0)=2+17l(ln16-ln34r)=2+17ln29

Resposta

Uma primitiva é F(x)=x^22+17lnl|tfracx-3x+4r|+C e a integral definida vale 2+tfrac17lntfrac29.

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