Encontre a primitiva.
integral sin x1+cos ^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=sin x1+cos^2 x
Como vemos o denominador depende de cos x e o numerador é sin x, faz sentido usar a substituição u=cos x, pois du=-sin x,dx.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -,du,
temos
integral sin x1+cos^2 x,dx = integral -,du1+u^2 = -integral du1+u^2

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
integral du1+u^2 = arctan(u) + C
Portanto
- integral du1+u^2 = -arctan(u) + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x com u=cos x, obtendo
-arctan(u)+C = -arctanl(cos xr)+C

Resposta

integral sin x1+cos^2 x,dx = -arctanl(cos xr) + C

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