Seja F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial de classe C^1 definido em R^3. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
A integral de linha de F do ponto A até o ponto B independe da curva C^1 por partes, contida em U, que liga A a B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (P, Q, R) que é de classe C^1 em R^3. A afirmação que precisamos mostrar que é equivalente a outras condições é que a integral de linha de F de um ponto A até um ponto B não depende da curva C^1 por partes que conecta A a B. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos conservativos, integrais de linha e condições de irrotacionalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre campo conservativo. Um campo vetorial F é dito conservativo se existe uma função escalar f tal que F = nabla f. Isso significa que F é o gradiente de alguma função potencial f.

Passo 3

Agora, se F é conservativo, a integral de linha de F de A a B depende apenas dos valores de f em A e B, ou seja:
integralA^B F cdot dr = f(B) - f(A)
Isso mostra que a integral não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 4

Outra condição importante é que o rotacional de F seja zero, ou seja, nabla times F = 0. Em termos práticos, isso significa que:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0
Se todas essas igualdades forem satisfeitas, então F é irrotacional.

Passo 5

Agora, se o rotacional de F é zero e o domínio U é simplesmente conexo (ou seja, não tem “buracos”), então pelo Teorema de Helmholtz, F é conservativo. E como vimos no Passo 3, se F é conservativo, a integral de linha é independente do caminho.

Passo 6

Resumindo, temos as seguintes implicações:
  1. F é conservativo Rightarrow Integral de linha é independente do caminho.
  2. O rotacional de F é zero e U é simplesmente conexo Rightarrow F é conservativo.
  3. Portanto, a condição de que a integral de linha de F de A a B é independente da curva é equivalente a dizer que F é conservativo, que por sua vez é equivalente a dizer que o rotacional de F é zero em um domínio simplesmente conexo.

Resposta

As condições de que a integral de linha de F de A a B é independente do caminho, que F é conservativo e que o rotacional de F é zero em um domínio simplesmente conexo são todas equivalentes.

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