Seja
um campo vetorial de classe
definido em
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
A integral de linha de
do ponto
até o ponto
independe da curva
por partes, contida em
, que liga
a
.
A integral de linha de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que é de classe
em
. A afirmação que precisamos mostrar que é equivalente a outras condições é que a integral de linha de
de um ponto
até um ponto
não depende da curva
por partes que conecta
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos conservativos, integrais de linha e condições de irrotacionalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre campo conservativo. Um campo vetorial
é dito conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que
é o gradiente de alguma função potencial
.
Passo 3
Agora, se
é conservativo, a integral de linha de
de
a
depende apenas dos valores de
em
e
, ou seja:
Isso mostra que a integral não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 4
Outra condição importante é que o rotacional de
seja zero, ou seja,
. Em termos práticos, isso significa que:
Se todas essas igualdades forem satisfeitas, então
é irrotacional.
Passo 5
Agora, se o rotacional de
é zero e o domínio
é simplesmente conexo (ou seja, não tem “buracos”), então pelo Teorema de Helmholtz,
é conservativo. E como vimos no Passo 3, se
é conservativo, a integral de linha é independente do caminho.
Passo 6
Resumindo, temos as seguintes implicações:
-
é conservativo Integral de linha é independente do caminho. - O rotacional de
é zero e é simplesmente conexo é conservativo. - Portanto, a condição de que a integral de linha de
de a é independente da curva é equivalente a dizer que é conservativo, que por sua vez é equivalente a dizer que o rotacional de é zero em um domínio simplesmente conexo.
Resposta
As condições de que a integral de linha de
de
a
é independente do caminho, que
é conservativo e que o rotacional de
é zero em um domínio simplesmente conexo são todas equivalentes.