Resolva a integral utilizando uma substituição adequada:
integral x raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para resolver a integral integral x raizx^2+1 , dx. Vamos usar o cálculo integral, especificamente o método de substituição, para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da raiz temos x^2 + 1. Vamos chamar isso de u.
Então, seja:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x
O que implica que:
du = 2x , dx
Para isolar x , dx, dividimos ambos os lados por 2:
x , dx = du2

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x raizx^2+1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral integral u^1/2 , du. A regra é que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pela constante 12 que tínhamos antes:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta pela expressão em termos de x:
13 (x^2 + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x raizx^2+1 , dx é igual a:
13 (x^2 + 1)^3/2 + C

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