Seja F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial de classe C^1 definido em R^3. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
rot F=0 em U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) que é de classe C^1 em R^3. O enunciado pede para mostrar que algumas afirmações são equivalentes quando o rotacional de F é zero em um conjunto U. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rot F = 0. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Se o rotacional é zero em todo o domínio U, dizemos que o campo é irrotacional.
Matematicamente, o rotacional é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Então, rot F = 0 implica que todas essas derivadas parciais são iguais a zero:
partial Rpartial y = partial Qpartial z, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 3

Agora, vamos considerar a segunda afirmação que queremos mostrar ser equivalente: O campo F é conservativo em U.
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escala f tal que F = nabla f. Ou seja:
F = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Para que um campo seja conservativo, ele precisa ser irrotacional e definido em um domínio simplesmente conectado.

Passo 4

Vamos agora estabelecer a equivalência entre rot F = 0 e o campo ser conservativo.
  1. Se F é conservativo, então rot F = 0:
    Se F = nabla f, então:
rot F = rot (nabla f) = 0
Isso ocorre porque o rotacional do gradiente de qualquer função é sempre zero.
  1. Se rot F = 0 e U é simplesmente conectado, então F é conservativo:
    Se o rotacional de F é zero e o domínio não possui “buracos” (simplesmente conectado), então existe uma função f tal que F = nabla f, ou seja, F é conservativo.

Passo 5

Além disso, outras afirmações equivalentes podem incluir:
  • Existência de uma função potencial: Já mencionamos, é uma função f tal que F = nabla f.
  • Integrabilidade do campo: O trabalho realizado por F ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido.
  • Condições das derivadas parciais iguais: As equações que vimos no Passo 2 também indicam que as derivadas mistas de uma função potencial são iguais, o que é necessário para a existência de f.

Passo 6

Resumindo, mostramos que:
  1. Se F é conservativo, então rot F = 0.
  2. Se rot F = 0 e U é simplesmente conectado, então F é conservativo.
  3. As condições das derivadas parciais sendo iguais são equivalentes a rot F = 0.

Resposta

Portanto, as afirmações de que rot F = 0, F ser conservativo em U, a existência de uma função potencial f tal que F = nabla f, e as condições das derivadas parciais serem iguais são todas equivalentes quando rot F = 0 em U.

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