Seja
um campo vetorial de classe
definido em
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial
que é de classe
em
. O enunciado pede para mostrar que algumas afirmações são equivalentes quando o rotacional de
é zero em um conjunto
. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Se o rotacional é zero em todo o domínio
, dizemos que o campo é irrotacional.
Matematicamente, o rotacional é dado por:
Então,
implica que todas essas derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 3
Agora, vamos considerar a segunda afirmação que queremos mostrar ser equivalente: O campo
é conservativo em
.
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escala
tal que
. Ou seja:
Para que um campo seja conservativo, ele precisa ser irrotacional e definido em um domínio simplesmente conectado.
Passo 4
Vamos agora estabelecer a equivalência entre
e o campo ser conservativo.
-
Se
é conservativo, então : Se, então:
Isso ocorre porque o rotacional do gradiente de qualquer função é sempre zero.
-
Se
e é simplesmente conectado, então é conservativo: Se o rotacional deé zero e o domínio não possui “buracos” (simplesmente conectado), então existe uma função tal que , ou seja, é conservativo.
Passo 5
Além disso, outras afirmações equivalentes podem incluir:
- Existência de uma função potencial: Já mencionamos, é uma função
tal que . - Integrabilidade do campo: O trabalho realizado por
ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido. - Condições das derivadas parciais iguais: As equações que vimos no Passo 2 também indicam que as derivadas mistas de uma função potencial são iguais, o que é necessário para a existência de
.
Passo 6
Resumindo, mostramos que:
- Se
é conservativo, então . - Se
e é simplesmente conectado, então é conservativo. - As condições das derivadas parciais sendo iguais são equivalentes a
.
Resposta
Portanto, as afirmações de que
,
ser conservativo em
, a existência de uma função potencial
tal que
, e as condições das derivadas parciais serem iguais são todas equivalentes quando
em
.