Seja F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial de classe C^1 definido em R^3. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) que é de classe C^1, ou seja, tem derivadas contínuas em R^3. A pergunta quer que a gente mostre que certas afirmações sobre esse campo vetorial são equivalentes a dizer que F é um campo gradiente de alguma função potencial f em um conjunto U.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente, o que significa ser conservativo, e como a operação de rotacional (ou curl) está relacionada a isso. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial F é dito ser um campo gradiente se existe uma função escalar f(x, y, z) tal que:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Isso significa que cada componente de F é a derivada parcial de f em relação a uma das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o rotacional de F, denotado por nabla times F. O rotacional é uma operação que nos dá outra função vetorial que descreve a tendência de F de girar em torno de cada ponto. Se F é um campo gradiente, então o rotacional de F deve ser zero. Matemáticamente:
nabla times F = 0
Isso ocorre porque se F é o gradiente de alguma função, então não há “circulação” no campo, ou seja, ele é irrotacional.

Passo 4

Outra afirmação importante é que um campo vetorial F é conservativo se a integral de linha de F ao longo de qualquer caminho fechado em U é zero. Em outras palavras:
ointC F cdot dr = 0 para todo caminho fechado C em U
Campos conservativos são importantes porque permitem que o trabalho realizado por F seja independente do caminho seguido, dependendo apenas dos pontos inicial e final.

Passo 5

Agora, vamos conectar tudo isso. Se F é um campo gradiente, então:
  1. F é conservativo.
  2. O rotacional de F é zero.
Além disso, sob certas condições no conjunto U (como ser simplesmente conexo), essas afirmações são equivalentes. Ou seja, se nabla times F = 0 e U é simplesmente conexo, então F é um campo gradiente de alguma função potencial f.

Resposta

Portanto, mostramos que as afirmações "O campo vetorial F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U", “O rotacional de F é zero” e “O campo F é conservativo” são equivalentes, desde que o conjunto U seja simplesmente conexo.

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