Seja
um campo vetorial de classe
definido em
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
é um campo gradiente de alguma função potencial
em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que é de classe
, ou seja, tem derivadas contínuas em
. A pergunta quer que a gente mostre que certas afirmações sobre esse campo vetorial são equivalentes a dizer que
é um campo gradiente de alguma função potencial
em um conjunto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente, o que significa ser conservativo, e como a operação de rotacional (ou curl) está relacionada a isso. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial
é dito ser um campo gradiente se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que cada componente de
é a derivada parcial de
em relação a uma das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o rotacional de
, denotado por
. O rotacional é uma operação que nos dá outra função vetorial que descreve a tendência de
de girar em torno de cada ponto. Se
é um campo gradiente, então o rotacional de
deve ser zero. Matemáticamente:
Isso ocorre porque se
é o gradiente de alguma função, então não há “circulação” no campo, ou seja, ele é irrotacional.
Passo 4
Outra afirmação importante é que um campo vetorial
é conservativo se a integral de linha de
ao longo de qualquer caminho fechado em
é zero. Em outras palavras:
Campos conservativos são importantes porque permitem que o trabalho realizado por
seja independente do caminho seguido, dependendo apenas dos pontos inicial e final.
Passo 5
Agora, vamos conectar tudo isso. Se
é um campo gradiente, então:
-
é conservativo. - O rotacional de
é zero.
Além disso, sob certas condições no conjunto
(como ser simplesmente conexo), essas afirmações são equivalentes. Ou seja, se
e
é simplesmente conexo, então
é um campo gradiente de alguma função potencial
.
Resposta
Portanto, mostramos que as afirmações "O campo vetorial
é um campo gradiente de alguma função potencial
em
", “O rotacional de
é zero” e “O campo
é conservativo” são equivalentes, desde que o conjunto
seja simplesmente conexo.