Encontre a primitiva das funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x}-2 \sqrt[3]{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva (integração indefinida) da função
f(x)=\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}}{x}.
O conteúdo é cálculo de integral indefinida usando a regra da potência, que diz
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x: \sqrt{x}=x^{1/2}, \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e dividimos por x=x^1. Assim,
f(x)=x^{1/2-1}-2\,x^{1/3-1} =x^{-1/2}-2\,x^{-2/3}.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
\int f(x)\,dx =\int x^{-1/2}\,dx \;-\;2\int x^{-2/3}\,dx.

Passo 4

Usando a regra da potência para cada integral:
  1. \displaystyle \int x^{-1/2}\,dx =\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} =\frac{x^{1/2}}{1/2} =2\,x^{1/2}. 2. \displaystyle \int x^{-2/3}\,dx =\frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} =\frac{x^{1/3}}{1/3} =3\,x^{1/3}, então \displaystyle -2\int x^{-2/3}\,dx=-2\cdot3\,x^{1/3}=-6\,x^{1/3}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral.

Resposta

F(x)=2\sqrt{x}-6\sqrt[3]{x}+C.

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