Encontre a primitiva das funções:
z(x)=6 \operatorname{cossec}^{2} x+8 \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
z(x)=6\,\csc^{2}x+8\,\operatorname{sec} x\tan x.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas básicas. Vamos usar as fórmulas \displaystyle \int \csc^{2}x\,dx = -\cot x
e \displaystyle \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x.

Passo 2

Para o termo 6\,\csc^{2}x temos
\int 6\,\csc^{2}x\,dx =6\int \csc^{2}x\,dx =6\bigl(-\cot x\bigr) =-6\cot x.

Passo 3

Para o termo 8\,\operatorname{sec} x\tan x fazemos
\int 8\,\operatorname{sec} x\tan x\,dx =8\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx =8\,\operatorname{sec} x.

Passo 4

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int z(x)\,dx =-6\cot x+8\operatorname{sec} x + C.

Resposta

-6\cot x+8\operatorname{sec} x + C.

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