Encontre a primitiva das funções:
f(x)=4 \operatorname{sec} ^{2} x+3 \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=4\operatorname{sec}^{2}x+3\operatorname{sen}(2x).
O conteúdo aqui é cálculo de integrais indefinidas (primitivas) de funções trigonométricas conhecidas: \operatorname{sec}^{2}x e \operatorname{sen}(2x).

Passo 2

Vamos integrar o primeiro termo. Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C_{1}.
Como há o fator 4, temos
\int 4\operatorname{sec}^{2}x\,dx = 4\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = 4\tan x.

Passo 3

Agora o segundo termo. A primitiva de \operatorname{sen}(2x) usa a substituição simples ou a tabela de integrais:
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x) + C_{2}.
Multiplicando por 3,
\int 3\operatorname{sen}(2x)\,dx = 3\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr) = -\tfrac{3}{2}\cos(2x).

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante geral C, obtemos a primitiva de f(x):
F(x) = 4\tan x \;-\;\tfrac{3}{2}\cos(2x) + C.

Resposta

F(x)=4\tan x-\tfrac{3}{2}\cos(2x)+C.

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