Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime(x)=5 x^4-3 x^2+4, f(-1)=2

Passo 1

O enunciado fornece a derivada f'(x)=5x^4 - 3x^2 + 4 e a condição f(-1)=2. O conteúdo é integração de polinômios, usando a regra de potência, e depois aplicação de condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Aplicamos a regra de potência para cada termo de f'(x):
integral 5x^4 ,dx = x^5, integral (-3x^2) ,dx = -x^3, integral 4 ,dx = 4x
Assim, a primitiva mais geral é
f(x) = x^5 - x^3 + 4x + C

Passo 3

Usamos a condição f(-1)=2. Substituindo x=-1:
f(-1) = (-1)^5 - (-1)^3 + 4(-1) + C = -1 + 1 - 4 + C = -4 + C
Impondo f(-1)=2 resulta -4 + C = 2, logo C = 6.

Resposta

f(x) = x^5 - x^3 + 4x + 6

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