Encontre a primitiva mais geral da função, isto é, a integral indefinida de f(x) com respeito a x : integral f(x) d x=F(x)+C, onde F^prime(x)=f(x).
f(x)=2x raizx+raiz[3]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar a primitiva mais geral da função f(x) = 2x raizx + raiz[3]x . Basicamente, precisamos calcular a integral indefinida dessa função em relação a x . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, onde usamos regras de integração para encontrar funções cuja derivada nos dá a função original. Vamos precisar aplicar a regra do poder para integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) para facilitar a integração. Olha só:
f(x) = 2x raizx + raiz[3]x
A gente pode reescrever 2x raizx da seguinte forma:
2x raizx = 2x cdot x^1/2 = 2 cdot x^-3/2
E raiz[3]x é o mesmo que x^1/3 . Então, agora nossa função fica:
f(x) = 2x^-3/2 + x^1/3

Passo 3

Agora que simplificamos, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra do poder. A regra do poder diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n é diferente de -1 e C é a constante de integração.

Integrando 2x^-3/2 :

Aplicando a regra:
integral 2x^-3/2 , dx = 2 cdot x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C
Calculando o expoente:
-32 + 1 = -12
Então:
2 cdot x^-1/2-1/2 = -4x^-1/2
Isso é igual a:
-4raizx

Integrando x^1/3 :

Aplicando a regra:
integral x^1/3 , dx = x^1/3 + 11/3 + 1 + C
Calculando o expoente:
13 + 1 = 43
Então:
x^4/34/3 = 34x^4/3

Passo 4

Agora, juntando as integrais dos dois termos, temos:
integral f(x) , dx = -4raizx + 34x^4/3 + C

Resposta

A primitiva mais geral da função é:
F(x) = -4raizx + 34x^4/3 + C

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