Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto e, ux y=uy x.
u=e^ ly sen y

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se vale
uxy ;=; uyx
para a função
u(x,y) ;=; e^xy,seny
O Teorema de Clairaut garante que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas (o que ocorre aqui pois exponencial e seno são suaves), então a igualdade deve valer. Vamos calcular ambas as derivadas mistas e comparar.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x:
ux ;=;partialpartial xl(e^xy,senyr)
Como y é tratado como constante, temos
ux ;=;y,e^xy,seny

Passo 3

Agora calculamos
uxy ;=;partialpartial yl(uxr) ;=;partialpartial yl(y,e^xy,senyr)
Usando regra do produto em ycdot e^xycdotsen y:
  1. derivada de y 1, restando e^xysen y,
  2. derivada de sen y cos y, restando y,e^xycos y,
  3. derivada de e^xy em y x,e^xy, restando y,sen y,(x,e^xy).
    Logo
uxy = e^xy,seny + y,e^xy,cos y + x,y,e^xy,seny = e^xyl(sen y + ycos y + xy,sen yr)

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial de u em relação a y:
uy ;=;partialpartial yl(e^xy,senyr)
Aqui usamos produto de e^xy por sen y:
uy = x,e^xy,seny + e^xy,cos y

Passo 5

Em seguida,
uyx =partialpartial xl(uyr) =partialpartial xl(x,e^xy,sen y + e^xy,cos yr)
Aplicando regra do produto em xcdot e^xycdotsen y e derivando e^xycos y em x:
  1. derivada de x 1, restando e^xysen y,
  2. derivada de e^xy y,e^xy, restando x,y,e^xysen y,
  3. derivada de e^xycos y em x y,e^xycos y.
    Portanto
uyx = e^xy,seny + x,y,e^xy,seny + y,e^xy,cos y = e^xyl(sen y + xy,sen y + ycos yr)

Passo 6

Comparando
uxy = e^xyl(sen y + ycos y + xy,sen yr) e uyx = e^xyl(sen y + xy,sen y + ycos yr),
vemos que são idênticas.

Resposta

A igualdade uxy=uyx vale, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut para esta função.

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