Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto e,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se vale
para a função
O Teorema de Clairaut garante que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas (o que ocorre aqui pois exponencial e seno são suaves), então a igualdade deve valer. Vamos calcular ambas as derivadas mistas e comparar.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
é tratado como constante, temos
Passo 3
Agora calculamos
Usando regra do produto em
:
- derivada de
dá , restando , - derivada de
dá , restando , - derivada de
em dá , restando .
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Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui usamos produto de
por
:
Passo 5
Em seguida,
Aplicando regra do produto em
e derivando
em
:
- derivada de
dá , restando , - derivada de
dá , restando , - derivada de
em dá .
Portanto
Passo 6
Comparando
vemos que são idênticas.
Resposta
A igualdade
vale, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut para esta função.