Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
ld xd t=2 x-y d yd t=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares usando o método dos operadores. Aqui, temos duas equações que relacionam as derivadas de x e y com x e y mesmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar o operador diferencial, que basicamente representa a derivada em forma algébrica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações usando o operador diferencial D , onde D = ddt . Isso nos ajuda a tratar as equações de uma maneira mais parecida com álgebra comum. Então, nosso sistema fica assim:
D x = 2x - y D y = x

Passo 3

Agora, vamos transformar essas equações para isolar x e y em termos de D . Na primeira equação:
D x = 2x - y Rightarrow (D - 2) x + y = 0
E na segunda equação:
D y = x Rightarrow x - D y = 0

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações algébricas com x e y :
(D - 2) x + y = 0 x - D y = 0
Podemos representar isso em forma de matriz:
D - 2 & 1 1 & -D x y = 0 0

Passo 5

Para que haja soluções não triviais, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero:
det D - 2 & 1 1 & -D = (D - 2)(-D) - (1)(1) = -D(D - 2) - 1 = -D^2 + 2D - 1 = 0
Resolvendo a equação característica:
-D^2 + 2D - 1 = 0 Rightarrow D^2 - 2D + 1 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática D^2 - 2D + 1 = 0 :
D = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Temos uma raiz dupla D = 1 .

Passo 7

Com a raiz D = 1 de multiplicidade 2, a solução geral para x(t) e y(t) será da forma:
x(t) = (C1 + C2 t) e^t
y(t) = C1 e^t
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = (C1 + C2 t) e^t
y(t) = C1 e^t

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