Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares usando o método dos operadores. Aqui, temos duas equações que relacionam as derivadas de x e y com x e y mesmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar o operador diferencial, que basicamente representa a derivada em forma algébrica. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações usando o operador diferencial D , onde D = ddt . Isso nos ajuda a tratar as equações de uma maneira mais parecida com álgebra comum. Então, nosso sistema fica assim:
D x = 2x - y D y = x
Passo 3
Agora, vamos transformar essas equações para isolar x e y em termos de D . Na primeira equação:
D x = 2x - y Rightarrow (D - 2) x + y = 0
E na segunda equação:
D y = x Rightarrow x - D y = 0
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações algébricas com x e y :
(D - 2) x + y = 0 x - D y = 0
Podemos representar isso em forma de matriz:
D - 2 & 1 1 & -D x y = 0 0
Passo 5
Para que haja soluções não triviais, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero: