Seja R a região delimitada pela y=x e a parábola y^2=x e S1 o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Considere agora S2 ser o sólido de revolução obtido ao girar a mesma região R em torno do eixo x. Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido S2 utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido chamado S2, que é gerado ao girar uma região R em torno do eixo x. Essa região R está delimitada pela reta y = x e pela parábola y^2 = x. Para resolver isso, vamos usar o método das fatias, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender bem a região R. Vamos desenhar os gráficos das duas curvas:
  • Reta: y = x.
  • Parábola: y^2 = x.
Essas duas curvas se intersectam onde y = x e y^2 = x. Substituindo y = x na parábola, temos y^2 = y, ou seja, y(y - 1) = 0, então y = 0 ou y = 1. Assim, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Agora, para aplicar o método das fatias, vamos considerar uma fatia vertical da região R em uma posição y, com uma pequena altura De<a y. Ao girar essa fatia em torno do eixo x, ela forma um disco.
Precisamos determinar o raio desse disco. Como estamos girando em torno do eixo x, o raio será dado pela distância do eixo x até a curva y = x ou y^2 = x, dependendo do valor de y.
Na região R, para cada y entre 0 e 1, a função direita é a reta x = y e a função esquerda é a parábola x = y^2.

Passo 4

O volume de cada fatia (disco) é dado pela área da base multiplicada pela espessura De<a y. A área da base é o círculo com raio R = y e r = y^2, então a área da fatia é pi(R^2 - r^2).
Portanto, o volume total V do sólido S2 é a soma desses volumes infinitesimais, o que podemos expressar como uma integral.

Resposta

V = pi integral0^1 ( y^2 - (y^2)^2 ) dy = pi integral0^1 ( y^2 - y^4 ) dy

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