Seja
a região delimitada pela
e a parábola
e
o sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno do eixo
.
Considere agora
ser o sólido de revolução obtido ao girar a mesma região
em torno do eixo
. Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido
utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).
Considere agora
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido chamado
, que é gerado ao girar uma região
em torno do eixo
. Essa região
está delimitada pela reta
e pela parábola
. Para resolver isso, vamos usar o método das fatias, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender bem a região
. Vamos desenhar os gráficos das duas curvas:
- Reta:
. - Parábola:
.
Essas duas curvas se intersectam onde
e
. Substituindo
na parábola, temos
, ou seja,
, então
ou
. Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, para aplicar o método das fatias, vamos considerar uma fatia vertical da região
em uma posição
, com uma pequena altura
. Ao girar essa fatia em torno do eixo
, ela forma um disco.
Precisamos determinar o raio desse disco. Como estamos girando em torno do eixo
, o raio será dado pela distância do eixo
até a curva
ou
, dependendo do valor de
.
Na região
, para cada
entre 0 e 1, a função direita é a reta
e a função esquerda é a parábola
.
Passo 4
O volume de cada fatia (disco) é dado pela área da base multiplicada pela espessura
. A área da base é o círculo com raio
e
, então a área da fatia é
.
Portanto, o volume total
do sólido
é a soma desses volumes infinitesimais, o que podemos expressar como uma integral.