Encontre a primitiva e justifique.
integral 1raiz9+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
integral 1raiz9+x^2,dx
Este é um caso clássico de integral do tipo integral 1raiza^2+x^2,dx. Vamos usar uma substituição trigonométrica, pois ela simplifica a raiz quadrada e leva a uma integral de sec.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3tantheta, dx = 3sec^2theta,dtheta
Então
raiz9+x^2 = raiz9+9tan^2theta = raiz9sec^2theta =3sectheta,
assumindo sectheta>0.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral 1raiz9+x^2,dx = integral 13sectheta,l(3sec^2theta,dthetar) = integral sectheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 5

Voltando à variável x:
tantheta = x3, sectheta = raiz1+tan^2theta = raiz1+x^29 = raiz9+x^23
Portanto
lnl|sectheta+tanthetar| = lnl|raiz9+x^23 + x3r| = lnl|raiz9+x^2+xr| - ln 3
Absorvendo -ln3 na constante C, obtemos
integral 1raiz9+x^2,dx = lnl|raiz9+x^2+xr| + C

Resposta

F(x) = lnl|x + raizx^2+9r| + C

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