Marque com V as alternativas verdadeiras e com F as alternativas falsas, justificando adequadamente suas escolhas.
Se
então
é uma série convergente;
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O enunciado fala sobre o limite de uma sequência
quando
se aproxima de 0 e se isso garante que a soma infinita
converge. Vamos precisar saber sobre limites de sequências e convergência de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma sequência. Quando dizemos que
, estamos dizendo que, conforme
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Agora, sobre séries: uma série
convergente significa que a soma dos termos dessa série se aproxima de um número finito quando somamos infinitamente muitos termos.
Passo 3
A afirmação diz que se
, então a série
é convergente. Mas aqui temos um detalhe importante: normalmente, quando lidamos com séries infinitas, analisamos o comportamento dos termos
quando
tende ao infinito, não a zero.
Passo 4
Existe um teste necessário para a convergência de séries: se
, então a série
não converge. No entanto, se
, isso não garante a convergência da série; apenas é uma condição necessária, não suficiente.
Passo 5
Aplicando isso à afirmação: o limite está sendo calculado quando
se aproxima de 0, e não do infinito. Além disso, mesmo se o limite fosse o correto (
), saber que
não assegura a convergência da série. Portanto, a afirmação não é verdadeira.
Resposta
F. A afirmação é falsa porque o limite de
quando
se aproxima de 0 não está relacionado com a convergência da série, e mesmo considerando o limite quando
tende ao infinito, esse limite ser zero não garante a convergência da série.