Exercício 3 Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
\int_{-2}^{3} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para estimar por cima e por baixo, sem calcular exatamente, a integral
\int_{-2}^{3} x^{2}\,dx.
O conteúdo usado aqui é o conceito de somas de Riemann: dado um particionamento do intervalo, o valor da integral fica entre a soma dos retângulos de altura igual ao ínfimo da função em cada subintervalo (bound inferior) e a soma dos retângulos de altura igual ao supremo da função (bound superior).

Passo 2

Primeiro, observamos que f(x)=x^{2} é sempre não negativa. Além disso, no intervalo [-2,3] o valor mínimo de x^{2} é
\inf_{x\in[-2,3]}x^{2}=0
(obtido em x=0). Logo, mesmo sem dividir em partes, temos a estimativa “crua” por baixo:
\int_{-2}^{3}x^{2}\,dx\;\ge\;0\cdot(3-(-2))=0.

Passo 3

Para um bound superior “cru”, note que o valor máximo de x^{2} em [-2,3] ocorre em x=3 e vale
\sup_{x\in[-2,3]}x^{2}=9.
Assim,
\int_{-2}^{3}x^{2}\,dx\;\le\;9\cdot(3-(-2))=9\cdot5=45.

Passo 4

Podemos obter limites mais apertados dividindo o intervalo em dois, onde x^{2} é monotônica em cada parte:
  • Em [-2,0], temos
    \inf_{[-2,0]}x^{2}=0 e \sup_{[-2,0]}x^{2}=(-2)^{2}=4,
    comprimento do subintervalo = 0-(-2)=2.
  • Em [0,3], temos
    \inf_{[0,3]}x^{2}=0 e \sup_{[0,3]}x^{2}=3^{2}=9,
    comprimento do subintervalo = 3-0=3.
Então a soma de Darboux inferior (lower sum) é
L = 0\cdot2 + 0\cdot3 = 0,
e a soma de Darboux superior (upper sum) é
U = 4\cdot2 + 9\cdot3 = 8 + 27 = 35.

Resposta

Portanto, a estimativa mais apertada que encontramos é
0 \;\le\;\int_{-2}^{3}x^{2}\,dx\;\le\;35.

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