Exercício 3 Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
Passo 1
O enunciado pede para estimar por cima e por baixo, sem calcular exatamente, a integral
O conteúdo usado aqui é o conceito de somas de Riemann: dado um particionamento do intervalo, o valor da integral fica entre a soma dos retângulos de altura igual ao ínfimo da função em cada subintervalo (bound inferior) e a soma dos retângulos de altura igual ao supremo da função (bound superior).
Passo 2
Primeiro, observamos que
é sempre não negativa. Além disso, no intervalo
o valor mínimo de
é
(obtido em
). Logo, mesmo sem dividir em partes, temos a estimativa “crua” por baixo:
Passo 3
Para um bound superior “cru”, note que o valor máximo de
em
ocorre em
e vale
Assim,
Passo 4
Podemos obter limites mais apertados dividindo o intervalo em dois, onde
é monotônica em cada parte:
-
Em
, temos
e ,
comprimento do subintervalo =. -
Em
, temos
e ,
comprimento do subintervalo =.
Então a soma de Darboux inferior (lower sum) é
e a soma de Darboux superior (upper sum) é
Resposta
Portanto, a estimativa mais apertada que encontramos é