Resolva as integrais definidas:
\int_{2}^{3}\left(6 x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{2}^{3}\left(6x^{2}-1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle 6x^{2}-1.
  • Os limites de integração são x=2 (inferior) e x=3 (superior).
  • A pergunta é: qual o valor numérico da integral definida entre esses limites?

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de maneira simples):
  • Integral indefinida / antiderivada: uma função F(x) é antiderivada de f(x) se F'(x)=f(x). Para polinômios usamos a regra do poder.
  • Regra do poder (antiderivação): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Linearidade da integral: \int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx. Ou seja, somar e puxar constantes para fora funciona.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (modo prático): se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Isso é suficiente para calcular a integral definida de polinômios sem complicação.

Passo 3

Achar uma antiderivada de \displaystyle f(x)=6x^{2}-1 termo a termo.
  1. Para \displaystyle 6x^{2}: aplicar linearidade e a regra do poder.
\int 6x^{2}\,dx = 6\int x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} = 2x^{3}.
Expliquei: \int x^{2}\,dx = x^{3}/3, multiplica por 6 6\cdot(x^{3}/3)=2x^{3}.
  1. Para \displaystyle -1: lembrar que \int c\,dx = c x para constante c.
\int (-1)\,dx = -x.
Somando os resultados, uma antiderivada F(x) de f(x) é
F(x) = 2x^{3}-x + C.
Para integral definida o C cancela, então podemos usar F(x)=2x^{3}-x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{2}^{3}\left(6x^{2}-1\right)\,dx = F(3)-F(2),
onde F(x)=2x^{3}-x.
Calcular F(3):
F(3)=2\cdot 3^{3}-3 = 2\cdot 27 - 3 = 54 - 3 = 51.
Calcular F(2):
F(2)=2\cdot 2^{3}-2 = 2\cdot 8 - 2 = 16 - 2 = 14.
Portanto a integral vale
F(3)-F(2)=51-14=37.

Passo 5

Verificação rápida (mesma ideia, cálculo termo a termo):
\int_{2}^{3}6x^{2}\,dx = 6\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = 2\left(3^{3}-2^{3}\right)=2(27-8)=2\cdot 19 = 38,
\int_{2}^{3}(-1)\,dx = -\left[x\right]_{2}^{3} = -(3-2) = -1.
Somando: 38 + (-1) = 37. Confere com o resultado anterior.

Resposta

37

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