Encontre uma primitiva das seguintes funções:
h(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função h(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é dada por h(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Essa expressão só faz sentido para x\neq 0 (pois divisão por zero não é definida).
  • O resultado que procuramos é uma família de funções H(x) tais que H'(x)=h(x) para todo x no domínio considerado (ou seja, em cada intervalo onde x\neq 0).

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função usando potência com expoente negativo, que facilita aplicar a regra de integração:
h(x)=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Isso significa que estamos querendo \displaystyle \int x^{-2}\,dx.

Passo 3

Vou lembrar e explicar a regra básica que vamos usar (a “regra da potência” para primitivas):
  • Regra: para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Por que isso vale? Porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, pela regra da potência para derivadas obtém-se
\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=\frac{n+1}{n+1}\,x^{(n+1)-1}=x^{n},
ou seja, a derivada volta a ser x^{n}. Esse raciocínio prova que a função proposta é realmente uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicamos a regra com n=-2. Então n+1=-1 e, como -2\neq -1, a regra vale:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C.
Simplificando,
\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\dfrac{1}{x}.
Portanto uma primitiva é -\dfrac{1}{x}+C.

Passo 5

Vamos verificar diferenciando a resposta (passo sempre útil na prova): calcular \left(-x^{-1}\right)'.
Pela regra da potência para derivadas,
\left(-x^{-1}\right)'=-1\cdot(-1)\,x^{-2}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}.
A derivada dá exatamente h(x), então está correto.

Passo 6

Observação sobre domínio e a constante de integração:
  • Como h(x) não está definida em x=0, normalmente falamos em primitivas separadas em cada intervalo onde a função é contínua, isto é, em (-\infty,0) e em (0,\infty). Em cada um desses intervalos a família -\dfrac{1}{x}+C (com C possivelmente diferente em cada intervalo) é a família completa de primitivas.
  • Na prática de prova, basta escrever a primitiva geral -\dfrac{1}{x}+C e lembrar que vale para x\neq 0.

Passo 7

Um exemplo extra rápido para fixar:
  • Se tivesse f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}, aplicar a regra dá
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{1}{2x^{2}}+C.
Veja que o procedimento é o mesmo: aumentar o expoente em uma unidade e dividir pelo novo expoente, desde que ele não seja -1.

Resposta

-\dfrac{1}{x}+C para x\neq 0.

Exercícios relacionados