Encontre uma primitiva das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é dada por
. - Essa expressão só faz sentido para
(pois divisão por zero não é definida). - O resultado que procuramos é uma família de funções
tais que para todo no domínio considerado (ou seja, em cada intervalo onde ).
Passo 2
Primeiro reescrevemos a função usando potência com expoente negativo, que facilita aplicar a regra de integração:
Isso significa que estamos querendo
.
Passo 3
Vou lembrar e explicar a regra básica que vamos usar (a “regra da potência” para primitivas):
- Regra: para qualquer número real
diferente de ,
onde
é a constante de integração.
- Por que isso vale? Porque, ao derivar
, pela regra da potência para derivadas obtém-se
ou seja, a derivada volta a ser
. Esse raciocínio prova que a função proposta é realmente uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicamos a regra com
. Então
e, como
, a regra vale:
Simplificando,
Portanto uma primitiva é
.
Passo 5
Vamos verificar diferenciando a resposta (passo sempre útil na prova): calcular
.
Pela regra da potência para derivadas,
Pela regra da potência para derivadas,
A derivada dá exatamente
, então está correto.
Passo 6
Observação sobre domínio e a constante de integração:
- Como
não está definida em , normalmente falamos em primitivas separadas em cada intervalo onde a função é contínua, isto é, em e em . Em cada um desses intervalos a família (com possivelmente diferente em cada intervalo) é a família completa de primitivas. - Na prática de prova, basta escrever a primitiva geral
e lembrar que vale para .
Passo 7
Um exemplo extra rápido para fixar:
- Se tivesse
, aplicar a regra dá
Veja que o procedimento é o mesmo: aumentar o expoente em uma unidade e dividir pelo novo expoente, desde que ele não seja
.