Resolva as integrais definidas:
\int_{2}^{3}\left(4-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{2}^{3}\left(4-3x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \,4-3x^{2}\,.
  • Limites de integração: de x=2 até x=3.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro lembrete útil: a integral é linear, isto é, para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso integrando,
\int_{2}^{3}\left(4-3x^{2}\right)\,dx = \int_{2}^{3}4\,dx - 3\int_{2}^{3}x^{2}\,dx.
Isso só separa a integral em partes mais simples.

Passo 3

Agora precisamos de antiderivadas (primitivas). Regra do “potência” para antiderivadas:
para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Além disso, para constante c,
\int c\,dx = c x + C.
Aqui usaremos essas fórmulas com c=4 e n=2.

Passo 4

Calcular as antiderivadas das partes:
\int 4\,dx = 4x + C, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
Portanto, uma primitiva do integrando \,4-3x^{2}\, é
F(x) = 4x - 3\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = 4x - x^{3} + C.
Verificação rápida (útil na prova): F'(x)=4-3x^{2}, que é exatamente o integrando.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de a até b de f é F(b)-F(a), onde F é uma primitiva de f. Assim,
\int_{2}^{3}\left(4-3x^{2}\right)\,dx = F(3)-F(2).
Calcule F(3) e F(2):
F(3)=4\cdot 3 - 3^{3} = 12 - 27 = -15,
F(2)=4\cdot 2 - 2^{3} = 8 - 8 = 0.
Portanto
F(3)-F(2) = -15 - 0 = -15.

Resposta

-15

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