Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \theta x^{\theta-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas de
\displaystyle \theta x^{\theta-1},
em seguida determinar intervalos de integração apropriados e calcular as integrais definidas nesses intervalos. O que nos foi dado explicitamente:
  • A integranda é \displaystyle \theta x^{\theta-1}.
  • \theta é um parâmetro (valor fixo, pode ser qualquer número real, mas o domínio da função depende de \theta).
    As perguntas implícitas que vamos responder: qual é uma primitiva geral dessa função (com constante de integração), quais intervalos são adequados para definir a primitiva/integração e qual é o valor das integrais definidas em tais intervalos (com atenção a possíveis singularidades em x=0).

Passo 2

Lembrete didático: regra da potência (power rule) para derivação e antiderivação.
  • Para um número real a e uma função x\mapsto x^{a} (quando faz sentido), temos a derivada
\frac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}.
Aqui a pode ser qualquer número real, desde que a expressão x^{a} esteja definida e diferenciável no intervalo considerado (por exemplo, para a real não inteiro normalmente exigimos x>0). A antiderivada é a operação inversa: se f'(x)=g(x), então f é uma primitiva de g.
No nosso caso, comparando com a regra, a função x^{\theta} tem derivada \theta x^{\theta-1} (pendente da observação de domínio que vamos tratar).

Passo 3

Encontrando a primitiva explicitamente:
Como vimos, a derivada de x^{\theta} é \theta x^{\theta-1} (nas hipóteses de domínio adequadas). Logo uma primitiva é
F(x)=x^{\theta}+C,
onde C é a constante de integração. Sempre confira derivando: \dfrac{d}{dx}\big(x^{\theta}+C\big)=\theta x^{\theta-1}. Portanto a família de primitivas é \displaystyle x^{\theta}+C.

Passo 4

Discussão dos domínios / intervalos onde essa primitiva vale sem problemas:
  • Caso geral (mais simples e seguro): se \theta é real (não necessariamente inteiro) então a expressão x^{\theta} é bem definida e diferenciável para x>0. Assim, na intervalos do tipo (0,\infty) temos a primitiva F(x)=x^{\theta}+C sem problemas. Logo podemos integrar \theta x^{\theta-1} em qualquer intervalo contido em (0,\infty).
  • Se \theta for inteiro:
    • Se \theta\ge 1 então x^{\theta} é um polinômio e está definido e é diferenciável em toda \mathbb{R}. Nesse caso a primitiva x^{\theta}+C vale em todo (-\infty,\infty).
    • Se \theta\le 0 inteiro negativo ou zero, a potência pode ser singular em x=0; ainda assim para x\neq 0 a primitiva é válida. Por exemplo, para \theta=-1 a primitiva x^{-1}+C não está definida em 0, então os intervalos devem evitar 0 (usar (-\infty,0) ou (0,\infty)).
  • Observação sobre integrais que envolvem x=0: quando a integral definida tem um dos extremos igual a 0, é preciso verificar convergência (integral imprópria). Em termos gerais, para a integral do tipo \int_{0}^{b} \theta x^{\theta-1}dx (com b>0):
    • Se \theta>0, então \int_{0}^{b}\theta x^{\theta-1}dx converge e vale b^{\theta}-0^{\theta}=b^{\theta}.
    • Se \theta=0, a integranda é 0 (pois \theta x^{\theta-1}=0\cdot x^{-1}=0), então a integral vale 0.
    • Se \theta<0, a integral \int_{0}^{b}\theta x^{\theta-1}dx diverge (comportamento divergente perto de 0).
      Essa conclusão vem do comportamento da potência próxima de zero: a integral \int_{0}^{b} x^{\alpha}dx converge se, e somente se, \alpha>-1. Aqui \alpha=\theta-1, então a condição é \theta>0; o caso \theta=0 é um caso especial porque o fator \theta anula a singularidade.

Passo 5

Cálculo explícito das integrais definidas em intervalos válidos (usando o Teorema Fundamental do Cálculo).
Se a e b estão no mesmo intervalo em que F(x)=x^{\theta} é primitiva (por exemplo 0<a<b com a,b>0, ou -\infty<a<b<0 quando permitido), então
\int_{a}^{b} \theta x^{\theta-1}\,dx = \big[x^{\theta}\big]_{x=a}^{x=b}=b^{\theta}-a^{\theta}.
Esse é o resultado prático que você vai usar na hora da prova: basta avaliar x^{\theta} nos extremos e subtrair. Exemplos rápidos:
  • Para 0<a<b e \theta real qualquer (quando usamos intervalo em (0,\infty)), temos \int_{a}^{b}\theta x^{\theta-1}dx=b^{\theta}-a^{\theta}.
  • Para \theta\ge 1 inteiro e qualquer a<b reais, a mesma fórmula vale (pois a primitiva é polinomial globalmente).
  • Para integrais que tocam 0 à esquerda, \int_{0}^{b}\theta x^{\theta-1}dx = \lim_{a\to 0^+}(b^{\theta}-a^{\theta}). Esse limite é b^{\theta} se \theta>0; é 0 se \theta=0; e diverge se \theta<0.

Passo 6

Resumo prático e verificação final (como checar rápido na prova):
  • Primitiva geral: F(x)=x^{\theta}+C. Sempre escreva o +C.
  • Regra prática para integrais definidas em intervalos contidos no domínio:
\int_{a}^{b}\theta x^{\theta-1}\,dx = b^{\theta}-a^{\theta}.
  • Atenção com x=0: só permita extremos iguais a 0 quando \theta>0 (ou \theta=0, caso trivial). Caso contrário, trate como integral imprópria e verifique convergência.

Resposta

Primitiva: x^{\theta}+C \n
Integral definida (para a,b no mesmo intervalo de definição): \displaystyle \int_{a}^{b}\theta x^{\theta-1}dx = b^{\theta}-a^{\theta} \n
Condição em 0: \displaystyle \int_{0}^{b}\theta x^{\theta-1}dx converge e vale b^{\theta} se \theta>0 (se \theta=0 a integral vale 0); diverge se \theta<0.

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