Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas de
,
em seguida determinar intervalos de integração apropriados e calcular as integrais definidas nesses intervalos. O que nos foi dado explicitamente:
em seguida determinar intervalos de integração apropriados e calcular as integrais definidas nesses intervalos. O que nos foi dado explicitamente:
- A integranda é
. -
é um parâmetro (valor fixo, pode ser qualquer número real, mas o domínio da função depende de ).
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é uma primitiva geral dessa função (com constante de integração), quais intervalos são adequados para definir a primitiva/integração e qual é o valor das integrais definidas em tais intervalos (com atenção a possíveis singularidades em).
Passo 2
Lembrete didático: regra da potência (power rule) para derivação e antiderivação.
- Para um número real
e uma função (quando faz sentido), temos a derivada
Aqui
pode ser qualquer número real, desde que a expressão
esteja definida e diferenciável no intervalo considerado (por exemplo, para
real não inteiro normalmente exigimos
). A antiderivada é a operação inversa: se
, então
é uma primitiva de
.
No nosso caso, comparando com a regra, a função tem derivada
(pendente da observação de domínio que vamos tratar).
No nosso caso, comparando com a regra, a função
Passo 3
Encontrando a primitiva explicitamente:
Como vimos, a derivada de é
(nas hipóteses de domínio adequadas). Logo uma primitiva é
Como vimos, a derivada de
onde
é a constante de integração. Sempre confira derivando:
. Portanto a família de primitivas é
.
Passo 4
Discussão dos domínios / intervalos onde essa primitiva vale sem problemas:
- Caso geral (mais simples e seguro): se
é real (não necessariamente inteiro) então a expressão é bem definida e diferenciável para . Assim, na intervalos do tipo temos a primitiva sem problemas. Logo podemos integrar em qualquer intervalo contido em . - Se
for inteiro: - Se
então é um polinômio e está definido e é diferenciável em toda . Nesse caso a primitiva vale em todo . - Se
inteiro negativo ou zero, a potência pode ser singular em ; ainda assim para a primitiva é válida. Por exemplo, para a primitiva não está definida em , então os intervalos devem evitar (usar ou ).
- Se
- Observação sobre integrais que envolvem
: quando a integral definida tem um dos extremos igual a , é preciso verificar convergência (integral imprópria). Em termos gerais, para a integral do tipo (com ): - Se
, então converge e vale . - Se
, a integranda é (pois ), então a integral vale . - Se
, a integral diverge (comportamento divergente perto de ).
Essa conclusão vem do comportamento da potência próxima de zero: a integralconverge se, e somente se, . Aqui , então a condição é ; o caso é um caso especial porque o fator anula a singularidade.
- Se
Passo 5
Cálculo explícito das integrais definidas em intervalos válidos (usando o Teorema Fundamental do Cálculo).
Se e
estão no mesmo intervalo em que
é primitiva (por exemplo
com
, ou
quando permitido), então
Se
Esse é o resultado prático que você vai usar na hora da prova: basta avaliar
nos extremos e subtrair. Exemplos rápidos:
- Para
e real qualquer (quando usamos intervalo em ), temos . - Para
inteiro e qualquer reais, a mesma fórmula vale (pois a primitiva é polinomial globalmente). - Para integrais que tocam
à esquerda, . Esse limite é se ; é se ; e diverge se .
Passo 6
Resumo prático e verificação final (como checar rápido na prova):
- Primitiva geral:
. Sempre escreva o . - Regra prática para integrais definidas em intervalos contidos no domínio:
- Atenção com
: só permita extremos iguais a quando (ou , caso trivial). Caso contrário, trate como integral imprópria e verifique convergência.
Resposta
Primitiva:
\n
Integral definida (para no mesmo intervalo de definição):
\n
Condição em :
converge e vale
se
(se
a integral vale
); diverge se
.
Integral definida (para
Condição em