Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 x^{4}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função f(x)=2 x^{4}-x^{2}".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2 x^{4}-x^{2}.
  • Não foi especificado intervalo; portanto procura-se a primitiva indefinida (família de todas as antiderivadas).
  • Resultado esperado: uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), com a constante de integração C.

Passo 2

O que é uma primitiva (antiderivada)?
  • Uma função F é primitiva de f se, para todo x do domínio considerado, vale F'(x)=f(x).
  • As primitivas indefinidas vêm em família: se F é primitiva de f, então qualquer F+C (com C constante real) também é primitiva, porque a derivada de uma constante é zero.
  • Na prática, para calcular primitivas usamos regras de integração que “invertem” a diferenciação.

Passo 3

Regra básica que vamos usar (regra da potência):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde:
  • x é a variável de integração,
  • n é um número real (aqui inteiros positivos),
  • C é a constante de integração.
    Além disso, a constante pode ser fatorada:
\int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx
para constante a.

Passo 4

Aplicando a linearidade termo a termo à função f(x)=2 x^{4}-x^{2}:
\int f(x)\,dx = \int\bigl(2 x^{4}\bigr)\,dx - \int x^{2}\,dx.

Passo 5

Calcular \int 2 x^{4}\,dx: fatoramos a constante 2,
\int 2 x^{4}\,dx = 2\int x^{4}\,dx.
Agora usamos a regra da potência com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}+C_1.
Portanto
2\int x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{2}{5}x^{5}.
(Anotar que o C_1 será absorvido na constante final.)

Passo 6

Calcular \int x^{2}\,dx: usar a regra da potência com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C_2.
Como no passo anterior o sinal era negativo, temos
-\int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Somando os resultados dos dois termos e incluindo a constante de integração geral C,
\int (2 x^{4}-x^{2})\,dx = \frac{2}{5}x^{5}-\frac{1}{3}x^{3}+C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para checar se volta a f(x).
Derivando \displaystyle F(x)=\frac{2}{5}x^{5}-\frac{1}{3}x^{3}+C:
F'(x)=\frac{2}{5}\cdot 5x^{4}-\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+0 = 2x^{4}-x^{2}=f(x).
Confere certinho.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{2}{5}x^{5}-\frac{1}{3}x^{3}+C

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