Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi especificado intervalo; portanto procura-se a primitiva indefinida (família de todas as antiderivadas).
- Resultado esperado: uma função
tal que , com a constante de integração .
Passo 2
O que é uma primitiva (antiderivada)?
- Uma função
é primitiva de se, para todo do domínio considerado, vale . - As primitivas indefinidas vêm em família: se
é primitiva de , então qualquer (com constante real) também é primitiva, porque a derivada de uma constante é zero. - Na prática, para calcular primitivas usamos regras de integração que “invertem” a diferenciação.
Passo 3
Regra básica que vamos usar (regra da potência):
onde:
-
é a variável de integração, -
é um número real (aqui inteiros positivos), -
é a constante de integração.
Além disso, a constante pode ser fatorada:
para constante
.
Passo 4
Aplicando a linearidade termo a termo à função
:
Passo 5
Calcular
: fatoramos a constante
,
Agora usamos a regra da potência com
:
Portanto
(Anotar que o
será absorvido na constante final.)
Passo 6
Calcular
: usar a regra da potência com
,
Como no passo anterior o sinal era negativo, temos
Passo 7
Somando os resultados dos dois termos e incluindo a constante de integração geral
,
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para checar se volta a
.
Derivando :
Derivando
Confere certinho.