Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as primitivas” da função
Ou seja, precisamos achar todas as funções
tais que
. As informações relevantes são os coeficientes dos termos de
e o termo constante
.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão de
somando os termos semelhantes. Calcular o coeficiente de
:
Portanto
Passo 3
Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicação didática):
- Regra da linearidade: a integral de soma é a soma das integrais. Ou seja,
. - Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral:
, onde é constante. - Regra da potência (regra básica para primitiva): para
,
onde
é a constante arbitrária de integração. Aqui
é o expoente (por exemplo, para
temos
).
Passo 4
Aplicar as regras termo a termo em
.
Integral do primeiro termo:
Usando a regra da potência com
:
Logo
Integral do segundo termo (constante):
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração
, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (diferenciação) para garantir que
:
que coincide com a forma simplificada de
. Está correto.
Passo 6
Resumo final: a família de primitivas é dada por
, com
constante arbitrária. Vai dar tudo certo na prova — respira, você conseguiu chegar aqui!