Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{2}{3} x^{2}-\frac{1}{3} x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as primitivas” da função
f(x)=\frac{2}{3}x^{2}-\frac{1}{3}x^{2}+1.
Ou seja, precisamos achar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x). As informações relevantes são os coeficientes dos termos de x e o termo constante 1.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão de f(x) somando os termos semelhantes. Calcular o coeficiente de x^{2}:
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Portanto
f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+1.

Passo 3

Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da linearidade: a integral de soma é a soma das integrais. Ou seja, \int (g(x)+h(x))\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral: \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx, onde a é constante.
  • Regra da potência (regra básica para primitiva): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Aqui n é o expoente (por exemplo, para x^{2} temos n=2).

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo em \;f(x)=\dfrac{1}{3}x^{2}+1.
Integral do primeiro termo:
\int \frac{1}{3}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.
Usando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Logo
\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{9}.
Integral do segundo termo (constante):
\int 1\,dx = x.
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
F(x)=\frac{x^{3}}{9}+x+C.

Passo 5

Verificação rápida (diferenciação) para garantir que F'(x)=f(x):
F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{9}\right)'+(x)'+C' = \frac{3x^{2}}{9}+1+0=\frac{x^{2}}{3}+1,
que coincide com a forma simplificada de f(x). Está correto.

Passo 6

Resumo final: a família de primitivas é dada por F(x)=\dfrac{x^{3}}{9}+x+C, com C constante arbitrária. Vai dar tudo certo na prova — respira, você conseguiu chegar aqui!

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{9}+x+C

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